К моделям подобного рода мы приходим, если в ходе решения сталкиваемся с системой линейных алгебраических уравнений. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
где числа aij, и называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами, а xj – неизвестные.
Такую систему удобно записывать в матричной форме:
A ∙ X = B
Здесь А – матрица (прямоугольная таблица) коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
,
– вектор-столбец из неизвестных xj,
– вектор-столбец из неизвестных bi.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-столбцом, или вектор-строкой соответственно).
Умножение матриц осуществляется только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы A m×n = (aij) на матрицу B n×p = (bjk) называется матрица C m×p = (cik) такая, что:
, где и .
Это означает, что элемент i -й строки и k -го столбцы матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы k -го столбца матрицы B. Получение элемента cik схематично можно изобразить так:
|
|
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен 1, называется единичной (обозначается буквой E).
Определитель матрицы (детерминант, det) – это многочлен от элементов квадратной матрицы. Методы его вычисления детально рассматриваются в курсе высшей математики. Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель не равен нулю, в противном случае она называется вырожденной.
Для произвольной квадратной матрицы A порядка n рассмотрим определитель:
,
где E – единичная матрица, а λ – действительное переменное. Относительно переменного λ этот определитель является многочленом степени n и может быть записан в виде:
Многочлен называется х арактеристическим многочленом матрицы А, определяющим ее собственные значения. А уравнение – характеристическим уравнением матрицы A. Собственные значения матрицы являются его корнями.