Построение эпюр внутренних усилий по характерным точкам в балке

Эпюры и M в балке, можно построить, не составляя аналитические выражения функций и M. Достаточно вычислить значения и M в характерных сечениях. Рассмотрим порядок расчёта.

§ Определяем опорные реакции (для консолей можно не определять).

§ Обозначаем характерные точки балки, находящиеся на опорах, в местах приложения сосредоточенных сил и моментов, в начале и конце распреде- ленной нагрузки, граничные точки. Этими точками балка делится на участки.

§ Составляем выражения внутренних силовых факторов – M и Q в характерных сечениях каждого участка с учетом правила знаков. Соединяя эти значения, строим эпюры отдельно на каждом участке.

§ Для построения необходимо знать характер эпюры на каждом участке.

Если на участке нет распределенной нагрузки, эпюра моментов на нём меняется по линейному закону и может быть построена по двум точкам (двум сечениям, сделанным в крайних точках участка). Поперечная сила на таком участке постоянна, поэтому определяем её 1 раз в произвольном сечении.

Если на участке действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов очерчена квадратной параболой и строится по двум или трём точкам (в начале и в конце участка). Третья ордината соответствует, как правило, экстремальному (максимальному или минимальному) значению изгибающего момента. Координата этого сечения соответствует нулю на эпюре поперечных сил. Поперечная сила, меняющаяся по линейному закону, строится по двум точкам.

Пример 1. Расчетная схема балки показана на рис. П9, а. Требуется построить эпюры и M по характерным точкам. Обозначим реакции и и определим их величины: Проверка реакций Проверка реакций Проверка реакций

При определении усилий в крайних точках участка сечение сдвигается внутрь участка на бесконечно малую величину. Будем обозначать усилия двумя индексами. Первый индекс связан с точкой, где делается сечение, второй - индекс участка. Рассмотрим порядок построения на примере.

М

l

q

l

ql2

Рис. П9

2l

C

A

K

B

D

-

+

а)

M=ql2

F=ql

Q

+

z0

+

ql

-

6

6

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

7

7

S HwwXfVKHipyacEITmaO8ydeEKsgEzQuQSwmsUbDOJPCq5P8/qH4BAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgA AAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwEC LQAUAAYACAAAACEAUugX2yECAAA7BAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQ SwECLQAUAAYACAAAACEA6go86N0AAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAAB7BAAAZHJzL2Rvd25yZXYu eG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAIUFAAAAAA== "/>

б)

в)

Обозначим характерные точки в балке. A, B – опоры. C – точка приложения момента. D – правый конец балки. Характерными точками балка делится на участки. Будемопределять усилия на каждом участке. Но предварительно оценим характер эпюры.

Построение эпюры поперечных сил по характерным точкам

1.

A

QAC

Участок АС. Так как поперечная сила на этом участке постоянна (нет равномерно распределённой нагрузки), делаем сечение в любом

месте этого участка (рис. П10). Рассмотрим равновесие левой части. Составим для неё уравнение статики . Знак «+» получается из уравнения (QAC при этом должна быть направлена по часовой стрелке

Рис. П10

вокруг отсечённой части). Знак Q_AC можно получить и по реакции V_А. Реакция стремится повернуть левую часть по ходу часовой стрелки. Это соответствует положительному значению Q_{AC .}

2.

A

C

M=ql2

l

QCA

Участок ВС. Так как на этом участке действует равномерно распределённая нагрузка, эпюра поперечных сил будет линейна. Найдём её значения на границах участка (рис. П11). Примем следующие обозначения. Q_СВ – значение поперечной силы в сечении С (первый индекс) на участке СВ

(второй индекс – правая граница участка CB). Для этого сделаем сечение в точке С, но сдвинем его внутрь участка СВ (сечение 3-3). Рассмотрим равновесие левой части. (Знак «+», т. к. реакция стремится повернуть левую часть по ходу часовой стрелки). Найдём QBC (значение поперечной силы в сечении В). Сечение B необходимо сдвинуть внутрь участка СВ (сечение 4-4). Соединяем полученные значения прямой линией.

Рис. П11

Рис. П12

QСВ

M=ql2

q

C

l

2l

QBC

A

B

QAC

Рис. 1.4

3. Участок BD. Делаем сечение в любом месте участка BD, так как значение поперечной силы здесь постоянно (сеч. 6-6). Рассмотрим равновесие правой части. Не будем больше показывать отсечённую часть отдельно. . Знак поперечно силы «+», так как сила F дает поворот вокруг сечения по ходу часовой стрелке.

Оценим правильность построения эпюры Q. Под точками приложения сосредоточенных векторов (силы и реакций) на эпюре скачки на величину вектора силы. Сосредоточенный момент на эпюре не отражается. Перепад граничных значений на участке СВ равен q×2l (интенсивность нагрузки умноженная на длину ее распределения).