Декартово произведение множеств

Декартовым произведением – X Y множеств X и Y называется множество М вида

В круглых скобках обозначена последовательность, т. е. множество, в котором зафиксирован порядок элементов.

Подмножество F X Y называется функцией, если для каждого элемента x X, найдется не более одного элемента y Y вида (x,y) F; при этом, если для каждого элемента х имеется один элемент y вида (x,y) F, то функция называется всюду (полностью) определенной, в противном случае – частично определенной (не доопределенной).

Множество Х образует область определения функции F.

Множество Y образует область значений функции F.

Часто вместо (x,y) F пишут у=F(х), при этом элемент х называется аргументом или переменной, а у – значением функции F.

Сопоставим с декартовым произведением двух множеств х= . и у= . прямоугольную решетку, узлы которой взаимно однозначно соответствуют элементам декартова произведения (рис.5).

Подмножества декартова произведения обозначены штриховкой соответствующих элементов.

На рис.5 а) показано подмножество декартова произведения не являющееся функцией.

На рис.5 б) показано подмножество декартова произведения, являющееся полностью определенной функцией.

На рис. 5 в) показано подмножество декартова произведения, являющееся частично определенной функцией.

Количество аргументов определяет местность функции. До настоящего момента были рассмотрены одноместные функции.

Аналогично понятию декартова произведения двух множеств можно определить понятие декартова произведения n-множеств.

Декартовым произведением множеств М₁, М₂,…., М_n называется множество Элементами декартова произведения являются всевозможные последовательности, каждая из которых состоит из n элементов, причем первый элемент принадлежит множеству М₁, второй – множеству М₂, n-ый – множеству М_n.

Если множество М_х в определении функции у=F(x) является декартовым произведением множеств М _х1, М _х2,…., М _хn, то получаем определение n-местной функции у=F(х₁, х₂,….,х_n).