Определение. Двумерная случайная величина называется дискретной, если случайные величины Х и Y дискретны.
Если случайная величина Х может принимать только значения (для простоты изложения ограничимся только конечным множеством значений), а случайная величина Y – значения , то двумерный случайный вектор может принимать только пары значений , где , . Также, как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описывается с помощью таблицы:
Y X | … | ||||
… | |||||
… | |||||
… | … | … | … | … | … |
… | |||||
… | |
В этой таблице и .
Одномерные законы распределения отдельных компонент случайного вектора выражаются через вероятности совместных значений по формулам:
, ,
где суммирование распространяется на все возможные значения индексов i или j. Уточним, что для получения значения вероятности для некоторого фиксированного значения i, надо сложить вероятности , стоящие в i -ой строке таблицы, а для получения значения вероятности для некоторого фиксированного значения j, надо сложить вероятности , стоящие в j -ом столбце таблицы. При этом удобно одномерные законы распределения отдельных компонент записывать в той же таблице (см. ее последнюю строку и последний столбец). В правом нижнем углу таблицы обязательно должна находиться единица, являющаяся результатом суммирования вероятностей в ее последней строке (последнем столбце) и соответствующая условию нормировки. С помощью таблицы нетрудно определить функцию распределения
|
|
.
Также легко по таблице вычисляется вероятность любого события B, задаваемого в виде произвольной области на плоскости:
.
Пример 2.2.4. Закон распределения двумерного дискретного случайного вектора задан таблицей:
Y X | –1 | |
0,1 | 0,06 | |
0,3 | 0,18 | |
0,2 | 0,16 |
Найти: одномерные законы распределения компонент X и Y; вероятность . Составить функцию распределения .
Решение. 1) Одномерные законы и распределения компонент X и Y соответственно построены в таблице:
Y X | –1 | ||
0,1 | 0,06 | 0,16 | |
0,3 | 0,18 | 0,48 | |
0,2 | 0,16 | 0,36 | |
0,6 | 0,4 |
2) .
3) Согласно определению функции распределения . Напомним, что геометрически значение – это вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной . Для вершины этого квадранта, согласно условию задачи, есть двенадцать областей, образованных тремя вертикальными прямыми , , и двумя горизонтальными прямыми , .
На рис. 2.2.3 показан случай, когда вершина находится внутри прямоугольника , . При этом внутри квадранта находится только одна точка с координатами , в которой имеется ненулевая вероятность, равная 0,1. Функцию распределения удобно задавать в виде таблицы (ее значение для случая, когда вершина квадранта находится внутри прямоугольника , выделено жирным шрифтом):
|
|
y x | |||
0,1 | 0,16 | ||
0,4 | 0,64 | ||
0,6 |
Пример 2.2.5. Известна функция распределения двумерного дискретного случайного вектора :
y x | ||||
0,5 | 0,5 | 0,5 | ||
0,5 | 0,75 | 0,75 | ||
0,5 | 0,75 | 0,875 | ||
0,5 | 0,75 |
Составить функции распределения и компонент X и Y, а затем построить их законы распределения.
Решение. Учитывая, что , , получим («проходя» соответственно по последнему столбцу и последней строке таблицы):
Значит, для случайной величины X функция распределения испытывает «скачки» в точках , для случайной величины Y – в точках . Поэтому законы распределения компонент выглядят следующим образом:
X | Y | ||||||||
0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,125 | 0,5 | 0,25 | 0,25 |