Потенциальные функции с одной активной переменной

История

Первые фундаментальные результаты в области динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат А. Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и А. А. Андронову (бифуркации динамических систем). Основы теории особенностей гладких осображений были заложены прежде всего в трудах американского тополога Хасслера Уитни (Hassler Whitney) в 1940-х — 1950-х гг., которым предшествовала лемма Морса о нормальной форме функции о окрестности невырожденной критической точки.

В своём современном виде теория катастроф основана на работах французского математика, филдсовского лауреата 1958 года Рене Тома (René Thom) в 1960х. Широкую популярность идеи Уитни и Тома приобрели в 1970-х, благодаря работам Кристофера Зеемана (en:Christopher Zeeman) в 1970-ых. Зиман сравнивая её значение с изобретением математического анализа и говорил о «революции в математике». Затем последовало бурное развитие теории катастроф, которое в 1970-е — 1990-е годы было связано прежде всего с деятельностью В. И. Арнольда и его учеников (А. Н. Варченко, В. А. Васильев, А. Б. Гивенталь, В. В. Горюнов, С. М. Гусейн-Заде, А. А. Давыдов, В. М. Закалюкин, В. Д. Седых и др.), а также с работами Дж. Боардмана, Е. Брискорна, Дж. Брюса, Дж. Мазера, Б. Мальгранжа, Т. Волла.

Элементарные катастрофы по Р. Тому

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров.

Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов известны под именами, которые им дал Рене Том.

Потенциальные функции с одной активной переменной