Генерирование коррелированных случайных величин

Во многих практических примерах необходимо получать после­довательность случайных величин, в которой отдельные значения коррелированны между собой. Для такого ряда случайных величин можно воспользоваться так называемыми «процессами скользящего среднего» или «процессами авторегрессии» [15]. Пусть {а,} - после­довательность независимых нормально распределенных чисел с ма­тематическим ожиданием, равным нулю, и с дисперсией σ_α² . Тогда для последовательности {Z _i }, члены которой определяются по фор­муле:

z_i= α_i –θ₁α_{i -1} автокорреляционная функция равна

а дисперсия определяется из выражения

Такую последовательность называют процессом скользящего среднего первого порядка.

Процесс скользящего среднего второго порядка z₁= α₁ –θα_{i -1}- θ₂α_{i -2}имеет дисперсию

и автокорреляционную функцию

Процесс авторегрессии первого порядка имеет вид z_i= Ф₁ z_i-1+α_i. Для его стационарности необходимо ׀Ф₁׀ < 1.

Автокорреляционная функция имеет вид p_k=Ф₁p_k-1 (для К> 0),

дисперсия процесса

Процесс авторегрессии второго порядка записывается в виде z_i= Ф₁ z_i-1+ Ф₂ z_i-2 +α_i. Для стационарности процесса необходимо, чтобы Ф1+Ф₂<1, Ф₂ - Ф₁<1, -1< Ф₂ <1.Автокорреляция имеет вид p_k=Ф₁p_k-1 + Ф₂p_k-2 для К> 0. Коэффициенты Ф1 и Ф₂ можно определить из выражений

Эти выражения могут быть решены относительно переменных p_i