РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № _
Студента 2-ого курса, __ группы
Агрономического факультета
направления 120700.62 –
Землеустройство и кадастры
Иванова Ивана Ивановича
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО
И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
На диск массой М и радиусом R намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m. Груз падает с высоты h, раскручивая диск. Нить считать невесомой и нерастяжимой. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ось вращения диска неподвижна. Момент инерции диска . Исходные данные приведены в табл. 1.1. Здесь υ и а – абсолютные величины скорости и ускорения груза в момент падения t. ε – абсолютная величина углового ускорения диска в момент падения груза. F нат – абсолютная величина силы натяжения нити. Предполагается, что груз начал падать в момент времени t 1 = 0. Прочерк означает, что соответствующую величину не следует определять.
Рассмотрим 26-й вариант.
На диск массой 4 кг намотана нить и подвешен груз массой 1 кг. Груз падает с высоты 1 м, раскручивая нить. Нить невесома и нерастяжима (следовательно, F нат – const). Сопротивлением воздуха и трением пренебречь. Ось вращения диска неподвижна. Момент инерции диска . Определить модули скорости и ускорения груза в момент падения, модуль натяжения нити и время падения груза.
|
|
Решение
На груз m действуют: со стороны Земли – сила тяжести и со стороны нити – сила натяжения . На диск действует момент силы натяжения. На рис. 1.1 точки приложения сил выведены вправо от груза. Напишем уравнения движения для каждого тела в отдельности. Второй закон Ньютона, примененный к грузу, дает уравнение
+ = . (1.1)
Силы, действующие на груз, не зависят от времени. Поэтому ускорение груза постоянно. Равноускоренное движение груза описывается соотношениями
; υ = аt. (1.2)
Основное уравнение динамики вращения для диска имеет вид:
, (1.3)
где – определяет момент силы , численно равный в данном случае произведению R F нат (M 1 = R F нат). Угловые и линейные характеристики в данном случае связаны между собой соотношениями
υ = ω R; а = ε R. (1.4)
Для перехода к скалярной записи в уравнениях (1.1) и (1.3) спроектируем их на оси у и z соответственно. Получим
mg – F нат = ma; (1.1а)
J ε = R F нат. (1.3а)
Уравнения (1.1)–(1.4) описывают движение системы. Решение этих уравнений дает
υ м/с; с;
м/с2; F нат Н.
Проверим правильность размерности полученных результатов по рассчитанным формулам:
υ: ; ;
а: ; F нат: .
Примечание: при решении задачи можно также использовать закон сохранения энергии. Система двух тел (диск и груз) в поле силы тяжести может рассматриваться в данном случае как замкнутая. Полная механическая энергия такой системы сохраняется. Следовательно:
|
|
.
Таблица 1.1
№ вар. | М, кг | m, кг | R, м | h, м | υ, м/с | а, м/с2 | ε, 1/с2 | F нат, Н | t, с | J, кг·м2 |
- | ? | ? | ? | - | ? | - | ||||
? | 0,1 | ? | 2,6 | 3,1 | ? | ? | ? | ? | ||
? | - | ? | ? | ? | - | 6,7 | 0,8 | - | ||
? | ? | 0,1 | - | - | ? | ? | 6,5 | - | 0,1 | |
? | - | ? | 2,5 | ? | - | ? | 0,7 | - | ||
? | ? | 0,2 | - | - | ? | ? | - | 0,05 | ||
? | - | 2,4 | - | ? | ? | - | ||||
? | ? | - | - | ? | ? | - | 0,2 | |||
? | - | ? | ? | 2,7 | - | ? | 0,7 | - | ||
? | ? | ? | - | - | ? | - | 0,1 | |||
- | ? | 2,6 | ? | - | ? | ? | - | |||
? | 0,1 | - | - | ? | ? | 8,5 | - | ? | ||
? | 0,2 | 1,5 | 2,5 | ? | ? | ? | ? | ? | ||
? | 0,1 | ? | ? | ? | ? | ? | ||||
? | - | ? | ? | ? | - | 6,5 | 0,8 | - | ||
? | 0,1 | - | - | ? | ? | ? | - | 0,2 | ||
? | ? | 0,1 | - | - | ? | 6,6 | - | ? | ||
? | - | 2,2 | 2,6 | ? | - | ? | ? | - | ||
? | 0,1 | ? | ? | ? | ? | ? | ||||
? | - | ? | 2,4 | 2,8 | - | ? | ? | - | ||
? | - | ? | ? | - | ? | - | ||||
? | - | ? | ? | - | ? | - | ||||
? | ? | - | ? | - | ? | - | ||||
? | - | ? | ? | - | ? | - | ||||
? | 0,2 | ? | ? | ? | ? | ? | ||||
- | ? | ? | - | ? | ? | - |