Закон сохранения импульса

Варианты 1-12, 26

Пуля массой m, летящая с горизонтальной скоростью υ ₀, попадает в шар, массой М, подвешенный на длиннной (l) невесомой и нерастяжимой нити, и застревает в нем. Доля кинетической энергии пули, перешедшей при ударе в тепло, равна β. После удара шар поднялся на высоту h. Скорость шара непосредственно после удара равна υ. Угол отклонения нити от вертикали при этом равен α.

Варианты 13-25

Пуля массой m, летящая с горизонтальной скоростью υ ₀, попадает в шар, массой М, подвешенный на длинной (l) невесомой и нерастяжимой нити, и застревает в нем. Доля кинетической энергии пули, перешедшей при ударе в тепло, равна β. Скорость шара непосредственно после удара равна υ. Минимальная скорость шара в верхней точке траектории, при которой он может совершить полный оборот вокруг точки подвеса, равна υ ₁ (рис. 2.1).

Исходные данные для всех вариантов приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

№ вар.	m, кг	М, кг	υ 0, м/с	h, м	l, м	α, град	β	υ, м/с
	10-3		?	?			?	?
	25 · 10-3	?		?		?	?
	?			?		?	0,998	?
	2 · 10-3	?		?	?		?	1,59
	3 · 10-2	?	?	?	?		0,8
	?		?	0,1		?	0,9	?
	10-2		?	0,1		?	?	?
	4 · 10-2	?		?		?	0,99	?
	?		?	?	?		0,98
	35 · 10-3		?	?		?	?
	?			?		?	?
	?			?			?
	2 · 10-2			?		?	?	?

№ вар.	m, кг	М, кг	υ 0, м/с	υ, м/с	υ 1, м/с	l, м	β
	10-2		?	?	?		?
	?		?	?	3,5	?	0,9
	5 · 10-3	?	?		?	?	0,8
	?			?	?		?
	10-3	?	?	?	?		0,9
	?				?	?	?
	?		?		?	?	0,99
	?			?	?	?	0,98
	3 · 10-2	?		?	?	?	0,97
	10-2	?		?	?		?
	?		?	?	?		0,96
	?		?	?		?	0,98
	10-2			?	?	?	?

В качестве примера рассмотрим 26-й вариант.

Пуля массой 2 · 10^-2 кг, летящая с горизонтальной скоростью 500 м/с, попадает в шар, массой 5 кг, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити, и застревает в нем. Длина нити 1 м. Определить высоту подъема шара, угол отклонения нити, скорость шара непосредственно после удара, долю кинетической энергии пули, перешедшей в тепло при ударе.

Решение

На систему пуля-шар в момент удара никакие внешние силы в горизонтальном направлении не действуют. Поэтому проекция полного импульса системы на ось х будет оставаться постоянной (рис. 2.2).

. (2.1)

Удар пули в шар абсолютно неупругий. В момент удара действуют силы, обусловленные неупругой деформацией пули и шара. Механическая энергия при этом не сохраняется. Доля энергии, перешедшей в тепло при ударе, определяется отношением

, (2.2)

где Q – убыль кинетической энергии системы пуля-шар за время удара:

. (2.3)

Здесь υ – скорость шара с пулей непосредственно после удара, находится из уравнения (2.1).

При движении шара с пулей после удара от положения I до положения II в системе шар с пулей-Земля работу совершает только сила тяжести, которая не может изменить механической энергии системы, а может только перевести кинетическую энергию ее в потенциальную и наоборот. Поэтому механическая энергия в данном случае сохраняется:

. (2.4)

Высота h подъема шара может быть выражена через длину l нити и угол α отклонения ее от вертикали:

. (2.5)

Уравнения (2.1)–(2.5) описывают движение рассматриваемой системы тел. Решение этих уравнений дает:

м/с; ;

м; .

Проверка правильности размерностей полученных результатов здесь достаточно проста, и для краткости ее опускаем.

Примечание. В вариантах 13-25 нужно учесть, что в точке А маятнику должна быть сообщена скорость, достаточная для подъема до точки В. Для того чтобы маятник мог совершить полный оборот (т.е. двигаться по окружности), необходимо наличие силы, которая смогла бы обеспечить ему центростремительное ускорение. Величину минимальной скорости υ ₁, необходимой для совершения полного оборота, можно получить из уравнения движения (II закона Ньютона), записанного для маятника в точке В.