Погрешности при машинном представлении чисел

При машинном представлении чисел используются две формы,- с фиксированной и плавающей запятой. В первом случае условно фиксируется расположение знака, отделяющего целую часть числа от дробной. Т.е. выделяется неизменное число разрядов для целой и дробной частей числа. Так, при общем числе n двоичных разрядов, выделяемых для представления числа один разряд резервируется под знак числа, n_і знаков,- под целую и n_f=n-n_і -1 знаков, - под дробную (Рисунок 1.1).

......

n_i – разрядов, целая часть n_f – разрядов, дробная часть

знак числа

Рисунок 1.1 – Распределение разрядной сетки при представлении числа с фиксированной запятой.

Отметим следующую особенность. Если исходные данные имеют неограниченное число верных знаков, то форма представления с фиксированной запятой позволяет их представить с абсолютной величиной погрешности не превышающей половину младшего разряда, т.е. . Таким образом, и абсолютная величина погрешности представления таких чисел не превышает . Этот факт, опуская подробности, иногда формулируют и так: в форме с фиксированной запятой числа представляются с одинаковой абсолютной погрешностью.

Форма представления с плавающей запятой предполагает, что оно представлено в виде

,

где или 1, , число называется мантиссой, число р,- порядком. В этом случае разрядная сетка распределяется таким образом: два разряда выделяется под знаки мантиссы и порядка, разрядов выделяется под мантиссу и разрядов, - под порядок (Рисунок 1.2).

n_m – разрядов, мантисса n_f – разрядов, порядок

1 разряд, 1 разряд,

знак m_x знак порядка

Рисунок 1.2. – Один из вариантов распределения разрядной сетки при представлении числа с плавающей запятой.

В данном случае интересным является то обстоятельство, что верхние оценки для относительных погрешностей чисел, представленных в форме с плавающей запятой, являются одинаковыми. Действительно, предположим, что исходные данные имеют неограниченное число верных знаков. Тогда, вследствие погрешности округления абсолютная величина погрешности их представления и оценка для относительной имеет вид

.

Таким образом, для любого x допускаемого разрядной сеткой.

Варианты индивидуальных заданий

Дана функция

, .

В таблице 1.2 приведены приближённые значения , содержащие верные значащие цифры. Значения являются точными.

Необходимо:

1. определить абсолютные и относительные погрешности исходных данных, указать диапазоны расположения их точных значений;

2. вычислить значение функции с учётом и без учета правила подсчёта значащих цифр, сравнить результаты;

3. определить абсолютную и относительную погрешности функции, указать диапазон расположения её точного значения.

Таблица 1.2. Исходные данные для расчёта

Вариант №	а11	а12	а22	x1	x2
	1	-0,1	3	-0,17	0,4973
	2	-4	0,5	1,47	-0,34134
	-2	1	-0,8	-1,01	0,49992
	3	-0,9	7	4,97	-0,43576
	6	1	0,8	-2,01	19,3412
	2	3	-0,6	0,18	-1,396
	1	-3	0,7	2,0	-0,9754
	4	0,7	9	-0,62	1,93985
	6	0,4	-7	0,39	-0,1697
	3	-0,6	2	-3,6	0,48129
	0,8	5	-1	-1,5	0,98817
	8	0,3	-9	0,67	4,97117
	0,4	-8	2	1,10	-3,2222
	4	0,2	-3	0,4984	-0,18
	0,9	5	7	-0,43143	1,56
	-5	0,1	7	-0,49299	1,20
	5	0,5	-4	0,45387	-7,49
	0,9	4	-8	-1,93421	2,00
	2	3	0,9	6,391	-0,81
	0,5	-9	6	0,5749	-2,0
	8	0,2	6	1,99358	-0,26
	3	-0,3	8	1,69740	-0,93
	-2	0,4	8	-4,8291	6,3
	0,7	3	-5	9,1878	-5,1
	4	0,8	9	7,94711	-7,6