Вступительные замечания

Ниже рассматриваются некоторые, получившие распространение аналитические и численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

(1)

. (2)

Условие (2) называется начальным.

Достаточные условия разрешимости таких задач формулируются теоремой существования и единственности, один из наиболее простых вариантов которой, состоит в следующем.

Пусть в точке (x₀, y₀) и некоторой ее окрестности функция f (x, y) и ее производная непрерывны. Тогда существует единственная функция y = y (x) непрерывно дифференцируемая в точке x₀ и некоторой ее окрестности удовлетворяющая дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2).

В дальнейшем эти условия предполагаются выполненными.

Аналитическими называют методы, позволяющие получить выражения, описывающие приближенные значения искомой функции в любой точке заданного отрезка [a, b]. Численными называются методы, позволяющие получить приближенные значения лишь в отдельных точках заданного отрезка.