Задача № 2. О – центр окружности радиуса r, вписанной в угол А

О – центр окружности радиуса r, вписанной в угол А.

F – точка пересечения отрезков DO и BC.

Известно, что С другой стороны, т.к. DB=DC, то Следовательно, , и BD – биссектриса Таким образом, D – центр вписанной в треугольник ABC окружности, и DF – ее радиус.

Ответ: .

Задача № 3. Будем искать искомый трехчлен в виде Тогда и – число нечетное. , откуда – число четное. Следовательно, а – целое.

Замечания.

1) Можно показать, что

2) Задача будет иметь положительный ответ, если задать нечетным, не меняя остальных условий.

Ответ: да.

Задача № 4. Без нарушения общности можно считать, что числа расположены по возрастанию. Тогда,

Задача № 5. Пусть – количество n -значных чисел, состоящих только из цифр 2 или 5, у которых две двойки не стоят рядом. Разобьем множество таких чисел на два подмножества. К первому отнесем нечетные числа (они заканчиваются на 5), ко второму – четные (они заканчиваются на 52). Считаем, что n ≥3. В первом подмножестве уберем последнюю цифру 5. Получим все возможные (n- 1)-значные числа, удовлетворяющие условию. Их количество – . Во втором подмножестве уберем последние две цифры 52. Получим все возможные (n-2)-значные числа, удовлетворяющие условию. Их количество – . Таким образом, . Очевидно, . Тогда .