Т.М. 21. Уравнение Лагранжа II рода

Обобщенными координатами называется независимые между собой параметры, с помощью которых можно определить положение всех точек механической системы. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы S:q1, q2,...,qs.

Положение всех точек кривошипно-ползунного механизма зависит от одного параметра –угла поворота ведущего звена – кривошипа ОА: .

Следовательно, для этого механизма обобщенной координатой является угол . Производная является обобщенной скоростью. Обобщенные координаты могут быть линейными () или угловыми () им будут соответствовать линейные или угловые обобщенные скорости.

Положение груза D зависит от двух обобщенных координат:

- угол поворота вала вокруг неподвижной оси;

- линейная обобщенная координата, зависящая от упругих свойств пружины. Так как обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат будут также независимы друг от друга.

При движении системы ее обобщенные координаты изменяются с течением времени. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода имеют следующий вид:

Число уравнений в системе соответствует числу S степеней свободы. Величина в правой части уравнения Лагранжа называется обобщенной силой. Для определения обобщенной силы системе необходимо дать возможное перемещение по соответствующей обобщенной координате, вычислить сумму элементарных работ заданных сил на соответствующих перемещениях и разделить на приращение обобщенных координаты, т.е. .

Если все силы, действующие на систему, являются потенциальными, то обобщенную силу можно вычислить по формуле , где П – потенциальная энергия системы.

Если все обобщенные силы равны нулю, механическая система будет находиться в равновесии.

Уравнения Лагранжа дают единый т достаточный простой метод решения задач динамики. Число уравнений не зависит от числа точек или тел, входящих в систему и определяется числом степеней свободы. В уравнениях Лагранжа учитываются только активные силы, силы инерции и реакции связей в него не входят.

Решение задач с использованием уравнение Лагранжа нужно проводить в такой последовательности:

1) определить число степеней свободы механической системы;

2) выбрать систему координат и ввести независимые обобщенные координаты по числу степеней свободы системы, оси координат направить таким образом, чтобы при движении системы приращения обобщенных координат были положительными;

3) вычислить кинетическую энергию системы, выразив все переменные величины, входящие в формулу энергии, через обобщенные координаты и обобщенные скорости, т.е. ;

4) определить частные производные ;

5) определить производные , считая, что все переменные, входящие в частную производную , являются функциями времени;

6) вычислить обобщенные силы, для чего

изобразить все активные силы и реакции неидеальных связей, действующих на систему;

дать независимые возможные перемещения по каждой обобщенной координате;

вычислить сумму работ всех активных сил и реакций неидеальных связей на каждом возможном перемещении , при этом все остальные возможные перемещения по остальным обобщенным координатам будут равны нулю;