Модель вязкопластичной бингамовской жидкости

Понятие о пластичных жидкостях впервые ввел Бингам, по­этому их называют бингамовскими вязкопластичными жидко­стями, или бингамовскими телами. Они отличаются от ньюто­новских жидкостей тем, что для инициирования течения требу­ется приложить некоторое конечное напряжение. На рис. 5.5 показан график консистенции идеальной бингамовской вязко-пластичной жидкости, описываемый уравнением

=- dϑ/dr, (5.7)

где ₀ — напряжение, необходимое для начала течения жидко­сти; µ_p — пластическая вязкость, которая определяется как ка­сательное напряжение, превышающее предельное сдвиговое зна­чение и сообщающее жидкости единичную скорость сдвига. Следовательно,

µ_p = /γ (5.8)

Общее сопротивление сдвигу бингамовской вязкопластичной жидкости может быть выражено через эффективную вязкость при определенной скорости сдвига. Эффективную вязкость оп­ределяют, как вязкость ньютоновской жидкости, соответствую­щую конкретным значениям напряжения и скорости сдвига бингамовской жидкости. Из рис. 5.5 следует, что эффективную вязкость при скорости сдвига γ ₁ можно

вычислить с помощью следующего выражения

µ_е1=(τ₁-τ₀)/γ₁+τ₀/γ₁=µ_p+ τ₀/γ₁ (5/9)

Рис.5.5 График консистенции идеальной бингамовской вязкопластичной жидкости.

(Эффективная вязкость при скорости сдвига 2 больше, чем при скорости сдвига 1).

Таким образом, эффективную вязкость можно рассматривать состоящей из двух компонентов: пластической вязкости, соот­ветствующей вязкости ньютоновской жидкости, и структурной вязкости, которая характеризует сопротивление сдвигу, вызы­ваемое тенденцией содержащихся в бингамовской жидкости твердых частиц образовывать структуру. Как видно из рис.5.5 τ₀/γ составляет часть общего сопротивления сдвигу, уменьшаю­щуюся с увеличением скорости сдвига; следовательно, с ростом скорости сдвига эффективная вязкость снижается.

Следует особо отметить, что эффективная вязкость не имеет физического смысла, если не указывается скорость сдвига, при которой она измерена.

Пластичное течение, иллюстрируемое рис. 5.5, на практике никогда не наблюдается; при давлениях ниже предела текучести отмечается явление ползучести (рис. 5.6). Исследуя течение суспензии в стеклянном капилляре под микроскопом, Грин об­наружил, что в этом виде течения эффекты сдвига не проявля­ются. Суспензия течет как жесткое ядро, смазанное тонкой пленкой у стенки капилляра; в ядре частицы удерживаются вместе силами притяжения, действующими между ними. Как бы ни было мало давление, всегда существует некоторое тече­ние, хотя расходы при этом могут составлять 1 см³/100 лет.

Рис.5.6 Зависимость давления от расхода при течении бингамовской вязкопластичной жидкости в стеклянном капилляре:p₀-фактическое предельное динамическое напяжение сдвига без учета ползучести;4/3 p₀ –условное предельное динамическое напряжение сдвига;1-движение жесткого ядра;2-асимптота.

Рис.5.7 Течение бингамовской вязкопластичной жидкости в круглой трубе в виде жесткого ядра (R_p /2L<τ₀):1 структурированный буровой раствор;2-профиль скоростей.

Из этих наблюдений Грин сделал вывод, что абсолютного предель­ного динамического напряжения сдвига не существует и заново определил бингамовское предельное динамическое напряжение сдвига, как напряжение сдвига, необходимое для инициации ламинарного течения суспензии.

Грином были отмечены следующие особенности течения бин­гамовской вязкопластичной жидкости в круглой трубе. Если давление постепенно увеличивать от нуля, суспензия вначале движется как жесткое ядро, а профиль скоростей представляет собой прямую линию, перпендикулярную к оси трубы (рис. 5.7). Поскольку напряжение сдвига равно rp/(2L) (уравнение 5.3), ламинарное течение начинается у стенки трубы, когда

Rp₀ /(2L)=τ₀ (5.10)

где p₀— давление, при котором начинается пластичное течение. При давлениях, превышающих р₀, ламинарное течение посте­пенно охватывает слои, находящиеся ближе к оси трубы, по­этому поток представляет собой жесткое ядро в центральной части трубы, окруженное зоной ламинарного течения; а про­филь скоростей имеет вид, показанный на рис. 5.8.

Рис.5.8 Комбинированное течение бингамовской вязкопластичной жидкости в круглой трубе (Rp/2L>τ₀, rp/(2L)= τ₀:1-движение жесткого ядра;2-ламинарное течение;3-профиль скоростей.

Вне зависи­мости от амплитуды давления, жесткое ядро полностью исчез­нуть не может, ибо при очень малом r значение р должно быть весьма большим (чтобы rp/(2L) было равно τ₀), а при r = 0 должно стать бесконечным. Таким образом, зависимость напря­жения сдвига от скорости сдвига для течения бингамовской вяз­копластичной жидкости в круглой трубе, строго говоря, всегда нелинейна при любых значениях скорости сдвига. Однако при­ближенную зависимость между давлением и расходом можно вывести с использованием асимптоты к этому графику, которая пересекает ось давлений в точке 4/3р₀ (см. рис. 5.6). Бакингем вывел эту зависимость, используя значение давления в указан­ной точке и уравнение Пуазейля(5.11)

(5.11)

Подставляя р₀ из уравнения (5.10), можно преобразовать уравнение (5.11) в более удобную форму:

(5.12)

В уравнении (5.12) последнее слагаемое определяет вклад площади между кривой и асимптотой. При высоких расходах этот член можно опустить, но для точных расчетов не следует использовать сокращенную форму уравнения, за исключением случая, когда Dp/(4L) превосходит предельное динамическое напряжение сдвига τ₀ не менее чем в 4 раза.

При очень малых расходах в уравнение (5.12) должно быть включено выражение для жесткого ядра. По Бакингему, движе­ние жесткого ядра описывается следующим уравнением:

V = πDkp/(2µL), (5.13)

где k — константа, µ — вязкость смазывающего слоя у стенки трубы.

В бурении влияние жесткого ядра на общий расход обычно незначительно.

Гидравлический радиус определяется как (D₂ —D₁) /4. Его обычно подставляют в уравнение (5.12) вместо D/4, когда опре­деляют характеристики потока в кольцевом пространстве. Од­нако такая процедура дает лишь приближенное решение. Для получения точного решения следует обратиться к программе для ЭВМ, составленной Мелроузом, Сейвинзом и Пэришем.