Переменная величина Х, принимающая в результате испытания одно из конечной или бесконечной последовательности значений , называется дискретной, если каждому значению соответствует определенная вероятность того, что переменная величина Х примет именно это значение.
Функциональная зависимость вероятности от значения называется законом распределения вероятностей ДСВ Х (или кратко «закон распределения случайной величины»).
Возможные значения случайной величины | x1 | x2 | x3 | … | xk | … |
Вероятности этих значений | p1 | p2 | p3 | … | pk | … |
Закон распределения можно задать графически:
Закон можно задать аналитически: .
То, что величина Х примет одно из значений последовательности есть событие достоверное.
Иначе: - эти события несовместны и образуют полную группу. Следовательно, (если последовательность конечная) или (если последовательность бесконечная).
Например, пусть ДСВ Х: число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Составить закон распределения Х.
|
|
х | ||||||
р |
Значение случайной величины , которому соответствует наибольшая вероятность, называется модой случайной величины.
Задача. Вероятность попадания при каждом выстреле р =0,8. Имеется 3 снаряда, стрельба ведется до первого попадания. Составить таблицу распределения числа израсходованных снарядов.
ДСВ Х: число израсходованных снарядов.
- вероятность того, что Х примет значение х1, т.е. вероятность того, что будет израсходован один снаряд;
- вероятность того, что будет израсходовано два снаряда;
- вероятность того, что будет израсходовано три снаряд (два раза не попали и третий раз – попали; три раза не попали).
х | |||
р | 0,8 | 0,16 | 0,04 |
Контроль: 0,8+0,16+0,04=1
х1 =1 – мода случайной величины Х.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появляться, может не появляться. Вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна p (q=1-p – вероятность не наступления).
Рассмотрим ДСВ Х: число появлений события А в этих испытаниях.
Найдем закон распределения. Т.к. событие А в n испытаниях может не появляться ни разу, 1 раз, 2, … n раз. Следовательно, значения Х: 0,1,2, …, n. Для нахождения вероятностей этих значений нужно воспользоваться формулой Бернулли.
Таким образом, формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Такое распределение, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным, т.к. правую часть формулы Бернулли можем считать общим членом разложения бинома Ньютона.
|
|
Изобразить графически биномиальный закон распределения вероятностей случайной величины Х при n =5, p = , q = , где Х – число появлений события А в n независимых испытаниях.
х | ||||||
р |
Если число независимых испытаний велико, а вероятность наступления события в каждом испытании очень мала, (), то вероятность того, что событие А появится k раз в n испытаниях находится по закону Пуассона.
Такое распределение случайной величины Х называют распределением Пуассона.
Задача. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится равна 0,0002. Составить закон распределения числа испорченных изделий.
ДСВ Х: число поврежденных изделий среди отправленных.
х | … | |||||
р | 0,37 | 0,37 | 0,19 | 0,06 | … | … |
n =5000, p =0,0002, np =1<10
и т.д.