Проверки гипотезы. Критерий согласия Пирсона

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (по результатам наблюдений). Примером статистических гипотез являются следующие высказывания: генеральная совокупность, о которой мы располагаем лишь выборочными сведениями, имеет нормальный закон распределения или генеральная средняя (математическое ожидание случайной величины) равна 5. Не располагая сведениями о всей генеральной совокупности, высказанную гипотезу сопоставляют, по определённым правилам, с выборочными сведениями, и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет. Процедура сопоставления высказанной гипотезы с выборочными данными называется проверкой гипотезы.

Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия.

Этап 1. Располагая выборочными данными Х ₁, Х ₂, …, Х_n и руководствуясь конкретными условиями рассматриваемой задачи, формулируют гипотезу Н ₀, которую называют основной или нулевой, и гипотезу Н ₁, конкурирующую с гипотезой Н ₀.

Термин «конкурирующая» означает, что являются противоположными следующие два события:

- по выборке будет принято решение о справедливости для генеральной совокупности гипотезы Н ₀;

- по выборке будет принято решение о справедливости для генеральной совокупности гипотезы Н ₁.

Гипотезу Н ₁ называют также альтернативной.

Например, если нулевая гипотеза такова: математическое ожидание равно 5, – то альтернативная гипотеза может быть следующей: математическое ожидание меньше 5, что записывается следующим образом:

Н₀:М(Х) = 5; Н₁:М(Х)< 5.

Этап 2. Задаются вероятностью α («альфа»), которую называют уровнем значимости. Поясним её смысл:

Решение о том, можно ли считать высказывание Н ₀ справедливым для генеральной совокупности, принимается по выборочным данным, т.е. по ограниченному ряду наблюдений; следовательно, это решение может быть ошибочным. При этом может иметь место ошибка двух родов:

- отвергают гипотезу Н ₀, или, иначе, принимают альтернативную гипотезу Н ₁, тогда как на самом деле гипотеза Н ₀ верна – это ошибка первого рода;

- принимают гипотезу Н ₀, тогда как на самом деле высказывание Н ₀ неверно, т.е верной является гипотеза Н ₁ – это ошибка второго рода.

Так вот, уровень значимости α – это вероятность ошибки первого рода, т.е. α = (Н ₁), (13)

где (Н ₁) – вероятность того, что будет принята гипотеза Н ₁, если на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза Н ₀. Вероятность α задаётся заранее, разумеется, малым числом, поскольку это вероятность ошибочного заключения, при этом обычно используют некоторые стандартные значения: 0,05; 0,01; 0,005; 0,001. Например, α = 0,05 означает следующее: если гипотезу Н ₀ проверять по каждой из 100 выборок одинакового объёма, то в среднем в 5 случаях из 100 мы совершим ошибку первого рода.

Вероятность ошибки второго рода обозначают β, т.е.

β = (Н ₀), (14)

где (Н ₀) – вероятность того, что будет принята гипотеза Н ₀, если на самом деле верна гипотеза Н ₁. Зная α, можно найти вероятность β. Сказанное иллюстрирует табл. 6.

Таблица 6.

Решение, принимаемое о гипотезе Н 0 по выборке Верна ли гипотеза Н 0 или нет?	Гипотеза отвергается, т.е принимается гипотеза Н 1	Гипотеза Н 0 принимается
Гипотеза Н 0 верна	Ошибка первого рода, её вероятность (Н 1) = α	Правильное решение, его вероятность (Н 0) = 1 – α
Гипотеза Н 0 неверна, т.е. верна гипотеза Н 1	Правильное решение, его вероятность (Н 1) = 1 – β	Ошибка второго рода, её вероятность (Н 0) = β

Обратим внимание на то, что в результате проверки гипотезы относительно гипотезы Н ₀ может быть принято и правильное решение. Существует правильное решение двух следующих видов:

- принимают гипотезу Н ₀, тогда как и в действительности, в генеральной совокупности, она имеет место; вероятность этого решения (Н ₀) = 1 – α;

- не принимают гипотезу (Н ₀) = 1 – α (т.е. принимают гипотезу Н ₁), тогда как на самом деле гипотеза Н ₀ неверна (т.е. верна гипотеза Н ₁); вероятность этого решения (Н ₁) = 1 – β.

Этап 3. Находят величину φ такую, что:

- её значения зависят от выборочных данных Х ₁, Х ₂, …, Х_n, т.е. для которой справедливо равенство φ = φ(Х ₁, Х ₂, …, Х_n);

- её значения позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Н ₀»;

- и она, будучи величиной случайной в силу случайности выборки Х ₁, Х ₂, …, Х_n, подчиняется при выполнении гипотезы Н ₀ некоторому известному, затабулированному закону распределения.

Величину φ называют критерием.

Отметим, что в основе метода построения критерия лежит понятие функции правдоподобия.

Этап 4. Далее рассуждают так. Т.к. значения критерия позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Н ₀», то из области допустимых значений критерия φ следует выделить подобласть ω таких значений, которые свидетельствовали бы о существенном расхождении выборки с гипотезой Н ₀, и, следовательно, о невозможности принять гипотезу Н ₀. Подобласть ω называют критической областью. Допустим, что критическая область выделена. Тогда руководствуются следующим правилом: если вычисленное по выборке значение критерия φ попадает в критическую область, то гипотеза Н ₀ отвергается и принимается гипотеза Н ₁. При этом следует понимать, что такое решение может оказаться ошибочным: на самом деле гипотеза Н ₀ может быть справедливой. Т.обр., ориентируясь на критическую область, можно совершить ошибку первого рода, вероятность которой задана заранее и равна α. Отсюда вытекает следующее требование к критической области ω:

вероятность того, что критерий φ примет значение из критической области ω, должна быть равна заданному числу α, т.е.

Р (φ ω) = α. (15)

Однако критическая область равенством (15) определяется неоднозначно. Действительно, представив себе график функции плотности f _φ(x) критерия φ, нетрудно понять, что на оси абсцисс существует бесчисленное множество областей-интервалов таких, что площади построенных на них криволинейных трапеций равны α, т.е. областей, удовлетворяющих требованию (15). Поэтому кроме требования (15) выдвигается следующее требование: критическая область ω должна быть расположена так, чтобы при заданной вероятности α ошибки первого рода вероятность β ошибки второго рода была минимальной.

Возможны три вида расположения критической области (в зависимости от вида нулевой и альтернативной гипотез, вида и расположения критерия φ):

правосторонняя критическая область, состоящая из интервала (х ^кр_{пр, α}, +∞), где точка х ^кр_{пр, α} определяется из условия

Р (φ > х ^кр_{пр, α}) = α (16)

и называется правосторонней критической точкой, отвечающей уровню значимости α;

левосторонняя критическая область, состоящая из интервала (- ∞, х ^кр_{лев, α}), где точка х ^кр_{лев, α} определяется из условия

Р (φ < х ^кр_{лев, α}) = α (17)

и называется левосторонней критической точкой, отвечающей уровню значимости α;

двусторонняя критическая область, состоящая из следующих двух интервалов: ((- ∞, х ^кр_{лев, α/2})

По значению критерия φ судят о «расхождении выборочных данных с гипотезой Н ₀». Естественно, что гипотеза Н ₀ должна быть отвергнута, если расхождения велики; именно этим объясняется включение в критическую область больших значений критерия φ (больше, чем критическая точка).

Включение же в ряде случаев в критическую область малых значений критерия φ (меньше, чем критическая точка) на первый взгляд противоречит смыслу этой величины. Однако не следует забывать, что φ – случайная величина (она зависит от результатов наблюдений Х ₁, Х ₂, …, Х_n, которые случайны), поэтому маловероятно появление не только слишком больших, но и слишком малых её значений и их следует включить в критическую область.

Этап 5. В формулу критерия φ = φ(Х ₁, Х ₂, …, Х_n) вместо Х ₁, Х ₂, …, Х_n подставляют конкретные числа, полученные в результате наблюдений, и подсчитывают числовое значение φ_чис критерия.

Если φ_чис попадает в критическую область ω, то гипотеза Н ₀ отвергается и принимается гипотеза Н ₁. Поступая таким образом, следует понимать, что можно допустить ошибку с вероятностью α.

Если φ_чис не попадает в критическую область, гипотеза Н ₀ не отвергается. Но это вовсе не означает, что Н ₀ является единственно подходящей гипотезой: просто расхождение между выборочными данными и гипотезой Н ₀ невелико, или, иначе, Н ₀ не противоречит результатами наблюдений; однако таким же свойством наряду с Н ₀ могут обладать и другие гипотезы.