Генеральное корреляционное отношение. Его свойства

Выясним, можно ли измерить степень корреляционной и стохастической зависимости величины Υ от Χ. Ответ проиллюстрируем примером 5. Все полученные в примере результаты объединены в табл. 16.

Таблица 16.

xi	х1 = 2	х2 = 5	х3 = 8
Р(Χ = xi)	0,2	0,42	0,38
М(Υ/Χ = xi)	0,5	0,686	0,768
D(Υ/Χ = xi)	0,03	0,03265	0,01163

MY = 0,68 (см. табл. 11), DY = 0,0336 (см. табл. 11)

Т.к. Х – случайная величина, принимающая значения 2, 5 и 8 с вероятностью 0,2; 0,42 и 0,38, то такими же будут вероятности и условных математических ожиданий, и дисперсий. Т.обр., условное математическое ожидание М(Υ/Χ), так же как и условная дисперсия D(Υ/Χ) – случайные величины.

Обратим также внимание на то, что М(Υ), найденное в табл. 11, можно вычислить и по табл. 16 следующим образом:

М(Υ) = M [М(Y/X)] = =0,5*0,2 + 0,686*0,42 + 0,768*0,38 = 0,68.

Разброс значений величины Υ вокруг математического ожидания М Υ измеряется дисперсией D(Υ), или σ_Υ²:

σ_Υ² = D(Υ) = М(Υ – МΥ)². (24)

(По табл. 11: σ_Υ² = 0,0336.) Этот разброс может быть вызван:

- зависимостью величины Υ от Χ (эта зависимость может быть обусловлена не только непосредственным влиянием Χ на Υ, но и наличием случайных факторов, действующих на Υ через переменную Χ);

- зависимостью величины Υ от случайных факторов, влияющих только на Υ и не влияющих на Χ; эти факторы называют остаточными.

1) Построим показатель разброса значений величины Υ, связанного с её зависимостью от фактора Χ.

Условное математическое ожидание М(Υ/Χ = x) является «представителем игреков», которые имеют место при Х = х. Характеристикой разброса условных математических ожиданий М(Υ/Χ = x) относительно М(Υ) является дисперсия D[M(Υ/Χ)], или

σ_φ² = D[M(Υ/Χ)] = М[M(Υ/Χ) – МΥ]² (25)

– эта величина и будет показателем разброса значений величины Υ, связанного с её зависимостью от фактора Χ. По таблице 16 найдём:

σ_φ² = М[M(Υ/Χ) – МΥ]² = = (0,5 – 0,68)²*0,2 + (0,686 – 0,68)²*0,42 + (0,768 – 0,68)²*0,38 = 0,0095.)

2) Теперь построим показатель разброса «игреков», связанного с влиянием остаточных факторов.

Зафиксируем какое-либо значение х величины Χ. Тогда причиной вариации величины Υ при Χ = х будут остаточные факторы, влияющие только на Υ и не влияющие на Χ. Измерителем этой вариации является условная дисперсия D(Υ/Χ = х).При различных же «иксах» характеристикой разброса «игреков», вызванного влиянием на Υ остаточных факторов, будет генеральное среднее из условных дисперсий, или, иначе, математическое ожидание условной дисперсии. Эту величину обозначим σ₀². Имеем

σ₀² = М[D(Υ/Χ)], (26)

где при Х = х дисперсия D(Υ/Χ = х) вычисляется по формуле (23). (По табл. 16 найдём

σ₀² = М[D(Υ/Χ)] = = = 0,03*0,2 + 0,03265*0,42 + 0,01163*0,38 = 0,0241.)

Для вычисленных дисперсий справедливо тождество

DΥ = D[M(Y/X)] + M[D(Y/X)]

или (27)

σ_Υ² = σ_φ² + σ₀².

Степень стохастической зависимости величины Υ от Χ измеряется гене-ральным корреляционным отношением

ρ_Υ/Χ = + = + = + = + . (28)

Квадрат корреляционного отношения

ρ_Υ/Χ² = = _{(26), (25)} = (29)

называется генеральным коэффициентом детерминации; он показывает, какую долю дисперсии величины Υ составляет дисперсия условных математических ожиданий, или, иначе говоря, какая доля дисперсии D(Υ) объясняется корреляционной зависимостью Υ от Χ. (В примере 5 σ_φ² = 0,0095, σ_Υ²=0,0336, поэтому ρ_Υ/Χ² = = 0,28, т.е. 28% дисперсии величины Υ объясняется её корреляционной зависимостью от Χ; ρ_Υ/Χ = + = 0,53.)