Теорема Меллина

Пусть F(p) C (Re p>a) и
1) |F(p)|=>0 при |p| , Re p>a относительно аргумента.
2) " x>a: |F(p)|dy<M (равномерно ограничен по x).
Тогда $ f(t) A(a): f(t) F(p) и f(t)=(1/2p i) e^ptF(p)dp, для " x>a.
Замечание. Несобственный интеграл (1/2p i) e^ptF(p)dp вычисляется вдоль прямой
Re p=x>a и понимается в смысле главного значения: e^ptF(p)dp= e^ptF(p)dp.

Пример. Решить задачу Коши: y"+w₀²y=f(t); y(0)=y'(0)=0;
Y(p)=F(p)/(p²+w ₀²); и трудности могут возникнуть при достаточно сложной F(p).
Но мы знаем, что y(t)=(1/a₀) g(t-t)f(t)dt. А т.к. G(p)= a₀/P_n(p), и a₀=1, и P_n(p)=p²+w₀² , то G(p)=1/(p²+w₀²). => g(t)=(1/2p i) e^pt/(p²+w₀²)dp=
=Выч[e^pt/(p²+w₀²), iw ₀]+ Выч[e^pt/(p²+w ₀²),-iw₀]= e^{iw 0t}/(2iw₀)-e^{-iw 0t}/(2iw₀)=sin(w₀t)/w₀=> y(t)=(1/w₀) sin(w₀(t-t))f(t)dt и в частности при f(t)= sin(w ₀t): y(t)=
=(1/w₀) sinw₀(t-t)sin(w_0t)dt =(1/2w ₀²)[sin(w₀t)-tw₀cos(w₀t)]- осциллирующая функция с линейно нарастающей амплитудой- резонанс.
Изображение произведения.

Пусть f₁(t) A(a₁): f₁(t) F₁(p) C (Re p>a₁); f₂(t) A(a₂): f₂(t) F₂(p) C (Re p>a₂).
f(t)=f₁(t)f₂(t) A(a₁+a₂); -удовлетворяет всем условиям существования изображения.

f(t) F(p)= e^-ptf₁(t)f₂(t)dt={f₁(t)=(1/2p i) e^ptF₁(p)dp, для " x>a₁}=
=(1/2p i) e^-ptf₂(t) e^qtF₁(q)dqdt=(1/2p i) F₁(q) e^-(p-q)tf₂(t)dtdq=
=(1/2p i) F₁(q)F₂(p-q)dq; (a₁<x=Re q<Re p- a₂)=(1/2p i) F₁(p-q)F₂(q)dq;
(a₂<x=Re q<Re p- a₁); F(p) C (Re p>a₁+a₂)
Пример. f₁(t)=t 1/p²; f₂(t)=sinw t w /(p²+w ²);
f(t)=f₁(t)f₂(t)=tsinw t (w /2p i) dq/[(p-q)²(q²+w²)]; 0<x=Re q<Re p={при помощи вычетов, с учетом того, что контур интегрирования замыкается вправо и обходится по часовой стрелке - в отрицательном направлении}= -w Выч[1/[(p-q)²(q²+w²)],q=p]
{q=p- полюс 2-го порядка =-w d/dq[1/(q²+w²),q=p] =2w p/(p²+w²);
Замечание. Можно считать контур интегрирования замкнутым налево и суммировать вычеты в iw;