Общая постановка оптимальной задачи с одним ограничением

Имеется дифференцируемая функция . Надо найти ее минимум при ограничении = 0. В соответствии с методом неопределенных множителей Лагранжа задача сводится в этом случае к введению переменной и решению следующей оптимальной задачи безусловной оптимизации: найти , где = - .

В соответствии с теоремой 2 в качестве области можно взять область, описываемую следующими неравенствами , и функция должна быть выпукла в области . Из теоремы 2 следует требование выпуклости функции только в окрестности точки экстремума . В соответствии с этой теоремой надо найти критическую (стационарную) точку и проверить выпуклость функции в окрестности этой точки.

Тогда по теореме 2 решение этой оптимальной задачи сводится к решению следующей системы в общем виде нелинейных уравнений

= - = 0, , , (1)

= = 0. (2)

Нашей целью является найти те классы функций и , для которых возможно получение аналитических решений, чтобы дать в руки читателей аппарат получения аналитических решений оптимальных задач.

Для удовлетворения условия величина должна иметь знак, равный

- ). (3)