Доказательство. Теорема в общем виде доказывается по индукции

Теорема в общем виде доказывается по индукции. Проверим ее выполнимость только для

то есть

Но последняя формула - формула Лагранжа для . Для последующих теорема доказывается по индукции. Эта формула может быть применима для оценки погрешности при интерполяции, когда функция задана только таблично. Если мало, то можно приближенно принять за и, таким образом, оценить погрешность .

В реальных вычислениях таблица конечных разностей строится по значениям , каждое из которых содержит погрешность Тогда в силу формулы (2.5.1) вычисленные значения содержат неустранимые ошибки

(2.5.3)

Пусть для всех , тогда можно получить гарантированную оценку

(2.5.4)