2015-06-24
445
Между любыми двумя точками на прямой существует бесчисленное множество точек.
(use induction and ex. 6)
Пусть теперь дана прямая а в плоскости a. Выберем в плоскости a любую точку АÏа. Для каждой точки М плоскости a рассмотрим отрезок АМ. Если он не имеет общих точек с а, отнесём его к области I, в противном случае отнесём его к области II.
Упражнение 10.
Докажите, что если точки M и N принадлежат одной и той же области, то отрезок MN не имеет общих точек с прямой а, если же они из разных областей, то отрезок MN имеет внутри себя точку из а. Это достигается непосредственным применением аксиомы Паша, если точки А, М и N не лежат на одной прямой. Если же они лежат на одной прямой АМN и последняя пересекает прямую а в некоторой точке Р, то на основании предыдущих упражнений вы сможете сделать вывод о местонахождении этой точки относительно точек А, М и N на прямой АМN.
Упражнение 11.
Докажите, что указанное выше разбиение плоскости на две области не зависит от выбора точки А, использованной для построения этих областей.
Таким образом, любая прямая а, лежащая в плоскости a разбивает все точки плоскости a, не лежащие на этой прямой на две части, обладающие следующим свойством: если точки А и В принадлежат одной и той же части, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а, если же они из разных частей, то отрезок АВ имеет внутри себя точку из а.
