Процесс ригоризации математики

Математика XIX века, в отличие от века Эйлера и Лагранжа, характеризуется сильным тяготением к строгости в том смысле, что при объяснении понятий различных теорий и определении дедуктивных процедур решительно изгоняется очевидность как инструмент обоснования математических результатов. Этот процесс начался с «редукций» Луи Огюстена Коши (1789—1857), его анализа бесконечно малых (понятий предела, производной, интеграла и т. п.). Вторая фаза — так называемый арифметический анализ, в рамках которого теория действительных чисел сведена к теории натуральных чисел. Исследования Вейерштасса, Кантора и Дедекинда показали, что теория действительных чисел со всеми ее конструкциями точным образом вытекает из понятия и свойств натуральных чисел.

Натуральное число, показал Леопольд Кронекер, есть «изначальный материал» и основание математики. В математике, говорил он, все — творение человека, за исключением натуральных чисел: «они сотворены Господом». Однако другие математики рассмотрели возможность углубить понятие натурального числа, привести его к более фундаментальному. Возникли два направления поисков.

Готлоб Фреге (1848—1895) в работе «Основания арифметики» (1884) свел арифметику к логике, а натуральное число — к комбинации чисто логических понятий. «Я стремился сделать правдоподобным тот факт, что арифметика — ответвление логики, и нет никакой нужды выводить ее из опыта или чистого созерцания в качестве основания доказательств». Простейшие законы исчисления раскрываются чисто логическими средствами. Так произошел переход от «арифметизации анализа» к «логизированной арифметике», продолженный позже Бертраном Расселом. Кантор, сведя логику к теории множеств, открыл дверь в математику с беспрецедентной доселе унифицирующей потенцией.

Однако стараниями Эвариста Галуа (Е. Galois, 1811—1832) (гениального математика, убитого в двадцать один год на дуэли при странных обстоятельствах), блистательно решавшего алгебраические Уравнения, Джорджа Пикока (G. Peacock, 1791—1858), Уильяма Гамильтона (W. R. Hamilton, 1805—1865), Артура Кэли (A. Cayley, 1821—1895), Германа Грассмана (Н. Grassman, 1807—1877),Джорджа

Развитие наук в XIX веке

Буля (G. Boole, 1815—1864) была создана абстрактная алгебра. Традиционная логика терминов (в частности, силлогистическая) преобразована в алгебру уравнений. Переосмыслив «универсалии» Лейбница, Буль создал «алгебру логики», получившую дальнейшую разработку в трудах Джевонса (W. S. Jevons), Шредера и Пирса (см. главу «Прагматизм»). Так логика стала символической логикой в качестве раздела математики.

Фреге, поставивший вопрос о строжайшем контроле над математическими доказательствами, видел в математике не просто основание различных частных теорий, но также инструмент построения строго научного здания математики. Что значит «строго научное», Фреге в «.Основаниях арифметики» пояснил так: «Можно сослаться на мнение Евклида, считавшего, что нельзя претендовать на то, чтобы все было доказано, ибо это невозможно. Однако можно требовать, чтобы все недоказанные положения были четко объявлены как недоказанные, чтобы не было сомнений, на чем основана вся конструкция. Необходимо, кроме того, пытаться сделать минимальным число исходных законов, делающих доказательным то, что можно доказать. Идя дальше Евклида, я требую, чтобы все применяемые дедуктивные процедуры были предварительно объяснены. В противном случае первое требование нельзя удовлетворить надлежащим образом... Аргументация моей концепции имеет характер исчисления в том смысле, что общий алгоритм, т. е. комплекс правил, определяет переход от одного положения к другому так, что ни один из членов, не обоснованных ими, не принимается. Я намерен реализовать дедукцию, свободную от нестрогих моментов, с максимальной логической точностью, более того, ясную и краткую». Логицистская программа Фреге будет продолжена Расселом и Уайтхедом. Но следует отметить, что первоначальная классическая аксиоматизация арифметики была предложена Джузеппе Пеано (1852— 1932) и Дедекиндом, понимавшими логику как мощный инструмент построения строго математического знания.