2015-06-26
1502
Смешанная p-q - ичная система счисления – средство представления q – ичного числа знаками алфавита p – ичной системы счисления. Например, 2-16 система счисления – средство записи шестнадцатеричного числа цифрами двоичной системы счисления; 2-10 система счисления - средство записи десятичного числа цифрами двоичной системы счисления.
Для получения записи q – ичного числа
(x)q= (αn…α3α2α1α0.α -1…α-m)q p-ичными цифрами естественно каждую цифру αi заменить p-ичным числом, равным элементу q-ичной базы, соответствующему этой цифре (βi):
0=>02, 1=>12, 2=>102, 3=>112, 4=>1002, 5=>1012, 6=>1102, 7=>1112, 8=>10002, 9=>10012, 10=>10102, 11=>10112, 12=>11002, 13=>11012, 14=>11102, 15=>11112. Тогда 20492,3710=>10 0 100 1001 10.11 111=> 100100100110.11111.
Но по такой записи невозможно восстановить десятичное число. Поэтому цифру αi заменяют p-ичным числом, в котором столько разрядов, сколько их требуется для записи (q-1) в
p-ичной системе счисления. 910=>10012 и тогда для получения x2-10 αi следует заменять четырех разрядным двоичным числом – тетрадой:
20492,372=>0010 0000 0100 1001 0010.0011 01112-10. Соответствие (x)q и (x)p-q взаимно - однозначное.
Задачи
a) 6856.128310=>(?)2-10.
b) (100001110000001.0101011)2-10 =>(?)10.
c) 4AF3.BC0216=>(?)2-16.
d) (110110010110001.1101011)2-16 =>(?)16.
e) Разработать алгоритмы получения (x)p-q по (x)q и (x)q по (x)p-q.
Замечание. 2-16 –ричная запись числа Х совпадает с его двоичной записью (почему?). Этим фактом удобно пользоваться для перехода от двоичной записи числа к его шестнадцатеричной записи и наоборот.
Задачи
a) 5E694.A2 16=>(?)2.
b) (101001111000111.10101101)2 =>(?)16.
c) Сформулировать правила получения шестнадцатеричной записи числа по его двоичной записи и двоичной записи числа по его шестнадцатеричной записи.
d) Для каких систем счисления (x)p-q =(?)p?
Контрольные вопросы
1) Укажите составные элементы системы счисления.
2) Что используют при записи числа в системе счисления?
3) Как получить запись числа в римской системе счисления?
4) Почему римскую систему счисления называют непозиционной
5) Укажите диапазон чисел, которые можно записать в римской системе счисления.
6) Укажите составные элементы позиционной системы счисления.
7) Почему система счисления носит название позиционной?
8) Укажите причины жестких требований к элементом позиционных систем счисления.
9) Можно ли брать в качестве основания K–ичной системы счисления произвольное p≠+1и p≠-1?
10) Как получить запись числа в позиционной системе счисления?
11) Почему правила выполнения операций в разных позиционных системах счисления одинаковые?
12) Что такое смешанная p-q–ичная система счисления?
13) Как по х8 получить запись х2-8, по х2-8 получить х8?
14) Доказать, что в случае p=qn запись xp совпадает с xp-q записью.
15) Сформулировать правило получения х10 по p – основанию системы счисления с неотрицательной базой и xp - строке записи числа.
16) Сформулировать правило получения строки q-ичной записи целого числа х10 по q – основанию системы счисления с неотрицательной базой и x10.
17) Сформулировать правило получения строки q-ичной записи числа х10 – правильной дроби по q – основанию системы счисления с неотрицательной базой и числу x10.
18) p=qn. Сформулировать правила получения по p, q, строке xp p-ичной записи числа строки хq q-ичной записи числа (по строке хq – строки xp).
