Заключение. 1) "Инвариантность" первого дифференциала в смысле [4-6] не существует, т.к

1) "Инвариантность" первого дифференциала в смысле [4-6] не существует, т.к. она - абсурдная замена (2) на (3) навсегда. Это невозможно.

2) "Неинвариантность" старших дифференциалов (1) в смысле [4-6] тоже не существует: вопреки [4-6] в них можно заменять x функцией, а Δ x - её приращением и это делают 300 лет. Выбор между (1) и формулами дифференциалов сложной функции обусловлен не неким свойством "не инвариантности" формулы (1) при n>1, а нашим желанием получить разложение по степеням Δ x илиΔ t в случае x=x (t).

3) Все формулы дифференциалов - и первого и старших и для сложной функции - инвариантны относительно того, является ли x функцией или нет.

4) Нельзя путать свойство величины быть функцией с невозможностью свободно задавать её значения. Эту путаницу насаждают в [4-6].

5) Формулы дифференциалов сложной функции не являются более общими, чем (1) потому что(1) применимы к более широкому классу функций x (t).

6) Методика [1-6] приучает к мысли, что показатель в обозначении дифференциала - количество дифференцирований. А вот главное, - то, что это показатель степени Δ x, - оказывается в тени. Между анализом и алгеброй (которой он должен был стать по замыслу Лейбница) в [4-6] воздвигнута стена.

7) Насилия над дифференциалом в [4-6] проистекли из неосознанно унаследованного от [1-3] желания придать обоснованный вид Лейбницевскому обозначению y ' =d y /d x. Лагранжево определение дифференциала даёт y ' =d y /Δ x. Сказанное не означает, что первая формула должна навсегда уступить место второй. Сказанное означает, что всегда надо помнить, из какого разложения взят дифференциал функции. Так, в этих двух верных формулах разнятся не только знаменатели, но и числители.

8) Пользоваться Лейбницевскими обозначениями производных и интегралов мы будем, от этого никуда не деться, но мы должны сказать студентам об их условности. Мы должны объяснить, что радикально исправить обозначения вряд ли удастся, потому что в обозначение производной или дифференциала невозможно вместить всю информацию о породившем их полиноме Тэйлора. Проще написать сам полином. Надо не пытаться вслед за Коши выводить обозначения Лейбница, невыводимые в R. - Надо рассказать о мечте Готфрида Лейбница и о 325-летней традиции обозначений, хоть и противоречивых, но привычных.

9) Мы обязаны объяснять студентам, что одних лишь правил действий с производными недостаточно для корректных действий с дифференциалами. Ещё нужно помнить, из какого разложения взят дифференциал. Все действия с ним оправданы лишь тогда, когда они есть часть действий с разложениями Тэйлора.

10) Методика Коши [1], кладущая производную в основание, не объясняет сказанного выше, потому она рождает грубые ошибки и беспомощность.

11) Мы должны вернуть Δ x в учебники и задачники, ликвидировать жуткую неразбериху, порождаемую заменой обозначения Δ x наd x.

12) Вместо нелепой "инвариантности" мы должны рассказывать, что (3) является выражением принципа "суперпозиции функций отвечает суперпозиция их дифференциалов": если f = f (x (t)) и Δ f = AΔ x +o(Δ x) и Δ x = BΔ t + o(Δ t), то Δ f = ABΔ t + o(Δ t). Отсюда - шаг до понимания, что (4) есть f (x+Δ x)=exp(d) f (x). "Инвариантность первого дифференциала" в смысле [4-6] не только не существует, но и не нужна, т.к. вместо неё везде работает дифференциал сложной функции (3), т.е. указанный выше принцип.

13) Самое раннее употребление термина "инвариантность первого дифференциала " в учебниках анализа, найденное мной, - у Г.М. Фихтенгольца и Куранта. Кто у кого заимствовал - судите сами. Это термин из тензорного анализа. Думаю, он был введен в учебники не без кампании прославления А. Эйнштейна. Введением этого понятия в основы математического анализа острожные замечания ранних авторов об отличии (8) от (1) были доведены в [4-5] до крайности, превращены в абсурд, в запрет на "Δ x= приращение функции ".

14) Рассказ о дифференциалах в [4-6] неудовлетворителен. В случаях включения вопроса "инвариантность первого дифференциала" в экзамен мы можем говорить о принуждении студентов следовать [4-6] в теме "дифференциалы", запоминать и признавать математикой запутанные в клубок нелепости. Этот вопрос должен быть изъят из Примерной программы и всех курсов лекций.

15) 18 лет назад я пытался освободить курс от этого и других, методически более крупных дефектов [11]. Но уже тогда систему образования разъела толерантность.

Литература

1. Дифференцiальное и интегральное изчисленiе. Краткое изложенiе уроковъ, преподаваемыхъ въ Королевской политехнической школђ Г.А.Л. Коши. (Перевод В.Я.Буняковского). - СПб, 1831 г.

2. Гурса Э. Курс математического анализа. Том 1. - М.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. (Издание 3, тираж 7000).

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 1. - М.: Наука, 1974 (Издание 23, тираж 64000).

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. - М.: Наука, 1966. (Издание 4, тираж 75000)

5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. - М.: Наука, 1971. (Издание 3, тираж 97000)

6. Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа 1-й том. - М.: "Высшая школа", 1981. (Тираж 80000).

7. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. - М.: Наука, 1984.

8. Математическая энциклопедия. Том 2. - М.: "Советская энциклопедия", 1979.

9. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под ред. А.П. Юшкевича. Том 3. Математика XVIII столетия. - М.: Наука, 1972.

10. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Часть 1 и 2. - М.: Наука, 1969.

11. Сушков. В.И. Общий курс высшей математики начала XXI века. - Математика в ВУЗе №3, 2002 г. Интернет-журнал на сайте СПбГПУ. -

http://www.spbstu.ru/public/m_v/N_003/Sushkov/Cours.XXI/plan.html