Разбор утверждений из цитат

(Цитаты 1,2) Насильственной заменой обозначения Δ x на d x и слов "приращение аргумента" на "дифференциал свободной переменной" в учебники и задачники посеяна жуткая неразбериха и чисто лингвистически ликвидирована возможность под Δ x понимать приращение функции. Я наоборот, приращение величины всегда буду обозначать добавлением к её имени буквы "дельта" (лат. differentia - разность).

(Цитаты 3,4) На самом деле дифференциал не всегда равен произведению производной на дифференциал аргумента. Он может быть равен произведению производной на приращение функции, которое не равно её дифференциалу. Существуют формула первого дифференциала из определения по Лагранжу (2) и формула дифференциала сложной функции (суперпозиции двух функций) y = f (x (t))

d f = f ' (x) d x (3)

Например, если x = ln(t) то Δ x = ln(t+ Δ t) – ln(t) = ln(1+ Δ t / t), d x = Δ t / t

и тогда формула (2) имеет вид d f = f ' (ln(t)) ln(1+ Δ t / t)

а формула (3) имеет вид d f = f ' (ln(t)) Δ t / t

Это - разные первые дифференциалы: первый - из разложения f (ln(t+ Δ t)) по степеням величины ln(1+ Δ t / t), второй - из разложения f (ln(t+ Δ t)) по степеням Δ t.

При фиксированном t и стремлении Δ t к нулю эти дифференциалы - эквивалентные бесконечно малые, но они не равны, т.е. (3) не совпадает с (2) вопреки [4-6].

Ещё пример: разложение 2/(2-sin(t)) = 1+ sin(t)/2 + (sin(t)/2)² +... Здесь sin(t)/2 есть дифференциал функции 2/(2- x) в точке 0 =sin(0). В нём sin(t) – sin(0) есть приращение Δ х функции х= sin(t), а не её дифференциал d х= cos(0) t = t. Следующее слагаемое - деленный на 2 второй дифференциал, в котором - то же самое.

То есть вопреки [4-6] здесь дифференциал функции 2/(2- x) в точке 0 не равен произведению производной на дифференциал аргумента.

Дифференциал (3) в принципе не может быть универсальным заменителем для (2) уже потому, что последний приложим к более широкому классу функций x (t). Так, в (2) функция x (t) может быть непрерывной, недифференцируемой, а в (3) такого быть не может, т.к. тогда d x не существует. Например, x - значение кусочно- гладкой функции x (t) в точке t её излома, а Δx - её приращение, порождённое числами t и Δ t, при этом d x не существует. Заменять (2) на (3) всегда - невозможно.

Что сделали авторы [4-6] заменой (2) на (3) навсегда? - Они сделали невозможным использование (2), когда x и Δ x - функция x (t) и её приращение. Т.е. они запретили суперпозицию рядов Тэйлора. - Разве это не нелепость?

(Цитата 5) Выведем формулы дифференциалов сложной функции не дифференцированием как в [1-6], а алгебраически. Подставим в разложение

f (x+ Δ x) = f (x) + f ' (x) Δ x+ f '' (x) Δ x ²/2! +... + f ⁽ⁿ⁾(x) Δ x ⁿ / n! + o(Δ x ⁿ) (4)

значение функции x (t) и разложение приращения Δ x в точке t по степеням Δ t

Δ x = d x + d² x /2! + d³ x /3! +... dⁿ x /n!+o(Δ t ⁿ) (5)

Проделаем это для n=3. При возведении Δ x в степени отнесем слагаемые высших порядков (относительно Δ t) в остаток в форме Пеано.

(Δ x)² = d x ² + d x d² x + o(Δ t ³); (Δ x)³ = d x ³ + o(Δ t ³); (Δ x)⁴ = o(Δ t ³) и т.д.

Группируя в (4) члены по степеням Δ t (показатель степени обозначен в дифференциалах x (t)), после выделения факториалов в знаменатель получим

Δ f = f ' (x)d x+ [ f '' (x)d x ²+ f ' (x)d² x ] /2! + [ f ''' (x)d x ³+3 f '' (x)d x d² x+f ' (x)d³ x ] /3! +

+o(Δ t ³) (6)

- разложение функции f (x (t)) по степеням Δ t (отклонения от t).Его общий вид

Δ f = d f + d² f /2! + d³ f /3! +... dⁿ f /n!+o(Δ t ⁿ) (7)

Сравнивая (6) и (7) на основе единственности разложения получаем формулы (3), (8), (9) для дифференциалов сложной функции f (x (t)).

d² f = f '' (x) d x ² + f ' (x) d² x; (8)

d³ f = f ''' (x) d x ³ + 3 f '' (x) d x d² x+ f ' (x) d³ x (9)

Аналогично можно получить формулы более высокого порядка. Общей формулы подобно (1) здесь нет. Теперь - следствия из такого вывода формул (8,9).

1) Формулы (8,9), которыми [4-6] требуют заменять (1) ради избавления от подстановки функции x (t) в (1), - именно такой подстановкой и получены!

2) В случае когда x - функция, в [4-6] объявлен обязательным (цитата 5) отказ от (1) в пользу формул старших дифференциалов сложной функции (8), (9) и т.д.

Но сами авторы [4-6] ему не следуют! Например: для вычисления некоторых пределов в задачнике Л.Д. Кудрявцева [7] нужны степенные разложения 5 порядка для суперпозиции трёх функций. Формула Тэйлора в таком случае состоит из 47 слагаемых, в которые в разных сочетаниях входят значения этих трёх функций и их первых пяти производных, - она необозрима. Её слагаемые (без факториалов в знаменателях) и есть старшие дифференциалы сложной функции. Настаивая на их использовании, Л.Д. Кудрявцев настаивает на использовании этой формулы - монстра. Однако в задачнике [7], решая образцы задач, он не пользуется ею, просто подставляет разложения Маклорена с числовыми коэффициентами в таковые же, т.е. подставляет в (1) функцию x (t) и её приращение Δ x. Таким образом в задачнике [7] Л.Д. Кудрявцев учит не обращать внимания на свои слова (цитата 5) и все их обоснования в учебнике [6]. - Разве это не нелепость?

То же самое делают все поклонники "не инвариантности старших дифференциалов", когда создают суперпозицию рядов Тэйлора: экстренно забывают объект своего поклонения. - Разве это не признак фиктивности этого понятия?

3) Благодаря алгебраическому выводу (1-3) становится ясной элементарная причина (на уровне школьной алгебры) появления сумм в формулах (8,9). Вместо того, чтобы ясно её обрисовать, или хотя бы сформулировать в виде предупреждения о невозможности получить старший член разложения (7) из одного члена из (4), одинакового с ним порядка, зачем-то запретили вообще всякую подстановку функций в (1). Да ещё и выдали свой запрет за свойство старших дифференциалов!

Итак, вопреки [4-6] формулы старших дифференциалов (1) верны и тогда, когда x - функция, и люди это используют 300 лет и это используют сами авторы [4-6].

Теперь прошу обратить внимание: "инвариантность дифференциала" (3) и "не инвариантность дифференциала" (1) - одно и то же потому, что обе они - всего лишь противоестественный запрет подставлять вместо x функцию в формулу дифференциала (1). Между ними разница лишь в том, чему в ней равно n. Если n=1 то запрет полагается называть "инвариантностью". Если n>1 то тот самый же запрет полагается называть "неинвариант­ностью". - Разве это не нелепо?

(Цитата 6) "Доказательство" "неинвариантности" второго дифференциала таково. Присвоив себе право называть приращение аргумента дифференциалом, т.е. наложив табу на "Δ x - приращение функции ", дифференцируют (3) как якобы единственного полномочного представителя понятия "дифференциал" и получают (8). После этого заявляют: (8) отличается от

f '' (x)d x ² (10)

наличием второго слагаемого. И это якобы означает, что второй дифференциал изменился. Т.е. когда x - свободная переменная, он был (10), а после того, как x сделали функцией, стал (8), - изменился, не инвариантен. Но в (10) буквами d x было обозначено приращение аргумента, а в (8) d x - дифференциал. Авторы сами выводят (10) т.е. (1) из (2) в предположении, что Δ x = const - приращение свободной переменной. В (10)d x всего лишь переобозначение дляΔ x. Сами себя запутали! Поэтому (8) не одним, а обоими слагаемыми отличается от (10). Теперь заметим: из того, что 3 не равно 8 и 5 не равно 8 не следует, что 3+5 не равно 8, - и доказательство рухнуло.

Но у этой "теоремы" есть дефекты и похуже. Эти два вторых дифференциала - (8) и (1) при n=2 - разные, потому что они из разных разложений (по степеням Δ x и по степеням Δ t). Потому из факта их неравенства бессмысленно делать выводы о другой причине, тоже обеспечивающей его. Теорема не имеет смысла априори!

А вот ещё дефект: Невозможность подставлять функцию x (t) и её приращение в (1) при n=2 в этой "теореме" получена из предположения того самого же для (2), из которого ранее и был получен (1). Что заложили в условие, то и получили!

Не более осмыслена и другая версия этой "теоремы", - как утверждение о не инвариантности формы второго дифференциала. Например, (8) на самом деле

d² f = f '' (x) d x ² + f ' (x) d² x = f '' (x (t)) (x ' (t)Δ t)² + f ' (x (t)) x '' (t) Δ t ² =

= [ f '' (x (t)) (x ' (t))² + f ' (x (t)) x '' (t)] Δ t ² = y '' (t) Δ t ² (11)

имеет структуру (1) при n=2. Становится ясным, что авторы, вводящие термин "неинвариантность", считают очень глубоким отличие 8 Δ t ² от (3+5)Δ t ².

С "теоремой" о неинвариантности второго дифференциала из [4-6] мы разобрались: её нет в природе. Но "инвариантность" первого дифференциала "доказывается" еще интереснее. В.А.Ильин и Э.Г.Позняк [5] вводят договорённость называть приращение "дифференциалом свободной переменной". Через несколько страниц об этой договорённости пишут "В конце §2 мы установили ". Заменив в сознании читателя договорённость на установленный факт, затем пишут "мы доказали". Ну разве это математика?! Разве это теорема? Чему мы студентов учим такими "доказательствами"? Манипуляциям? Так что угодно "доказать" можно!

Где источник ошибки. Источников несколько. Здесь я укажу три.

Первый источник - самообман на почве изгнания Δ x (цитаты 1,2).

Для дифференциалов (2) и (3) авторы [3-6] имеют по два варианта: либо x - независимая величина, либо зависимая. Итого четыре. Два из них совпадают: когда x - независимая величина формулы (2) и (3) одинаковы. Итого три случая.

Изгнание Δ x (цитата 1,2) - это манипуляция: ею из поля зрения убирают один из трёх случаев и переводят внимание на совпадение обозначений в двух случаях

1) формулу (2) в случае когда x - свободная переменная "по договорённости" (цитаты 1,2) пишут в виде (3);

2) формулу (3) получают по теореме о производной сложной функции, т.е. для того случая, когда x - функция.

А дальше пишут, что дифференциал в обоих случаях - и когда x независимая и когда зависимая переменная, имеет вид (3). Поскольку состояний быть зависимой или независимой величиной и вправду два, создаётся впечатление, будто формула (3) справедлива во всех мыслимых случаях, то есть всегда (цитата 3).

Но случаев-то три, а не два! И потому не всегда дифференциал равен произведению производной на дифференциал аргумента (см. выше).

Сказанное может создать впечатление наличия злого умысла. Но если сравнить [1,2,3] с [4], возникает ощущение, что Г.М. Фихтенгольц [4] не понял смысл слов "свободная" и "не свободная" величина. Я напоминаю: у Коши dx - константа, значение которой задаётся свободно. В наше время её аналогом является свободная константа в интегралах и решениях дифференциальных уравнений. Поэтому в [2,3] свободные переменные те, по степеням приращений которых авторы хотят получить разложение. Деформация смысла в [4] произошла, видимо, по цепочке "несвободная" - "зависимая" - "функция" и в итоге осторожное замечание Гурса [2] о том, что (8) имеет не такой вид как (1) при n=2, было доведено до абсурда: выбор формул (8,9) вместо (1) авторы [5, 6] подают не следствием нашего желания иметь разложение по степеням Δ t вместо Δ x, а неким свойством дифференциала зависеть от того, является ли x функцией. Если бы дифференциал (1) при n>1, как средство обработки двух чисел x и Δ x был живым существом, то по [5, 6] наше общение с ним выглядело бы так. Мы просим его обработать данные: f (x) = sin (x), точка x =0, приращение Δ x= 0.5. А он нас подозрительно спрашивает: "А вы откуда эти числа 0 и 0.5 взяли? Сами их задали, по вашей доброй воле, или вам их кто-то дал?" Мы ему: "А в чем дело?" А он нам: "А в том, что если эти числа не свободное проявление вашей воли, получены от какой-то функции, - я их обрабатывать не буду" - Вот до чего довели старшие дифференциалы в [5, 6]!

Второй источник ошибок - неверное употребление понятия "зависимая величина".У Коши [1] этих проблем не было, потому что он вводил дифференциал как предел дроби (f (x +h t)- f (x))/ t при стремлении t к нулю и h = const = d x. У него дифференциал (2) был функцией одного аргумента x. Но начиная с [4] дифференциал (2) объявили функцией двух аргументов x и Δ x.. Объявить-то объявили, а рассмотреть его как функцию двух аргументов - забыли. Если x - функция то имеем формулы замены пары чисел (x, Δ x) на пару (t, Δ t) или обратно

x = g (t); Δ x = g (t+ Δ t) – g (t) (12)

Можно ли в такой ситуации в общем случае утверждать, что благодаря тому, что x - функция, между x и Δ x появилась функциональная зависимость? - Нельзя. Например: x = ln (t). При любом заданном значении x = ln (t) мы можем обеспечить для Δ x =ln(t +Δ t)–ln(t)любое значение, выбрав Δ t = e x p(x)(e x p(Δ x)-1). И наоборот, при любом значении Δ x мы можем пропорционально поменять t иΔ t, тогда Δ x = ln(1+Δ t/t) сохранится, а x = ln (t) получит желаемое значение. Т.е. x и Δ x зависимы от (t,Δ t), они функции, мы даём им значения с помощью чисел (t,Δ t), но они независимы друг от друга. Поэтому и в случае, когда x - функция, можно дифференцированием (2) по x получать (1). В терминологии Коши и Гурса переменную x - можно назначить свободной, хотя она - функция от иной величины t. При построении разложения функции f (x + Δ x) по степеням Δ x то обстоятельство, что x - функция, не играет никакой роли. Возможно, этого не осознал Коши [1]. Возможно, ему казалось, что Δ x= const есть необходимое условие того, чтобы с ним обращаться как с константой при выводе (1) дифференцированием (2) по x. Так или иначе, но он не рассмотрел случай " x - функция" в (2). А вместе с ним его упустили и его последователи. Упустили потому, что вместо замены (12) двух величин (x, Δ x) на две (t,Δ t) они пишут про замену одной переменной x на функцию.

У авторов [4,5,6,11] совмещены в одно два разных обстоятельства: зависимость x и Δ x между собой и зависимость x от иных, внешних переменных (цитата 6). У них если величина - значение функции, то она якобы не может иметь назначаемые нами ей значения, не может играть роль свободной. - Но это нелепо!

Третий источник. Без сомнения: Коши хотел доказать обозначение Лейбница d y /d x для производной. Для этого ему был нужен "дифференциал свободной переменной" (вероятно, он следовал Лейбницу). А как только он заменил Δ x наd x - сразу потерял случай "Δ x - приращение функции".

Теперь про вывод (8) дифференцированием (3). В этом случае замена

x=g (t); d x = g ' (t) Δ t (13)

Случай отличается от предыдущего тем, что мы хотим иметь разложение по степеням Δ t а не d x. Право считатьd x функцией вытекает не просто из того, что x - функция, а ещё из того, что нам нужно варьировать t при фиксированном Δ t. Поэтому здесь первичны (свободны) t и Δ t.

Авторы [4-6], видимо, без раздумий копировали предшественников, внеся "небольшую" поправку: первый дифференциал (2) есть функция двух переменных, а не одной. То что за этой поправкой следует, они не рассмотрели.