Объединение любого конечного или счетного множества счетных множеств есть снова счетное множество

Доказательство. Пусть А₁, А₂, … - счетные множества. Можно считать, что они попарно не пересекаются.2 Все элементы множеств А₁, А₂, … можно записать в виде следующей бесконечной таблицы:

где в первой строке стоят элементы множества А₁, во второй – элементы множества А₂ и т. д. Занумеруем все эти элементы по диагоналям, т.е. за первый элемент примем а₁₁, за второй а₁₂, за третий а₂₁ и т.д., двигаясь в порядке, указанном стрелками на следующей таблице:

			а11	а12	а13	а14	….
			а21	а22	а23	а24	….
			а31	а32	а33	а34	….
			…	…	…	…	…

Ясно, что при этом каждый элемент каждого из множеств получит определенный номер, т.е. будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми элементами всех множеств А₁, А₂, … и всеми натуральными числами. Утверждение доказано.