Введение. Поверхностные и объемные силы

Введение.

Теория напряжений.

Поверхностные и объемные силы. Напряжения.

Напряженное состояние в точке сплошной среды.

Напряжения на произвольных площадках. Уравнения равновесия элементарного четырехгранника.

Эллипсоид напряжений.

Преобразование компонентов напряжений при повороте осей координат.

Главные площадки и главные напряжения.

Наибольшие касательные напряжения и площадки, на которых они действуют.

1.8. Инварианты матрицы напряжений.

Тензоры (второго ранга). Тензор напряжений.

Средние нормальные напряжения. Девиатор напряжений.

Пример 1. Исследование напряженного состояния в точке

Дифференциальные уравнения равновесия.

Примеры 2 и 3.

Теория деформаций

Деформации.

Перемещения. Градиент перемещений.

Линейная теория деформаций.

Относительные удлинения произвольного вектора. Компоненты деформаций. Уравнения Коши.

Геометрический смысл компонентов деформаций.

Тензор малых деформаций.

Свойства тензора деформаций.

Относительное изменение объема.Девиатор деформаций.

Интегрирование уравнений Коши.

Уравнения совместности деформаций.

Физические уравнения.

Общие соотношения.

Удельная работа напряжений.

Потенциальная энергия.

Закон Гука для изотропного упругого тела.

Линейное напряженное состояние.

Закон Гука для произвольного напряженного состояния в главных осях тензора напряжений.

Закон Гука при произвольном напряженном состоянии в произвольных координатны осях.

Относительное изменение объема.

Обратные соотношения. Закон Гука в форме Ламе.

Соотношение между девиаторами и интенсивностями напряжений и деформаций.

Характеристики упругих свойств материалов.

Пределы изменения значений упругих характеристик.

Потенциальная энергия изотропного материала.

Заключение по главе. Линейно- упругая модель и реальные материалы

Векторы и тензоры в ортогонaльных координатах.

5.1. Векторы.

5.2. Линейное преобразование векторов.

5.3.Тензоры.

5.4. Поворот системы координат.

5.5. Преобразование компонентов векторов при повороте осей координат.

5.6. Преобразование компонентов тензора при повороте осей координат.

5.7. Симметричные антисимметричные и ортогональные тензоры.

5.8. Главные оси и главные значения тензора.

5.9. Инварианты тензора.

5.10.Вырожденные и невырожденные тензоры.

5.11. О матрице поворота.

5.12. Скалярные произведения

Введение.

Механика сплошных сред - это один из основных и наиболее разработанных разделов механики, возникший в первой половине 19 века и достигший к концу 20 столетия высокой степени совершенства. На ее достижениях основаны методы исследования процессов, происходящих в любых физических средах - в жидкостях, газах, твердых телах, плазме, ее уравнения лежат в основе методов расчета любых технических объектов - энергетических и транспортных машин и сооружений, технологических процессов и оборудования, бытовой техники и т.д.

По определению сплошная среда сплошь, непрерывно заполняет занятую ей область пространства. Однородная среда имеет свойства, постоянные по объему.

Из сплошной однородной среды можно выделить малую часть, можно устремить объем этой части к нулю и при этом свойства среды в этом объеме будут такими же, как и в соседних точках, в соседних частях. Поэтому можно процессы, происходящие в сплошной однородной среде описывать, дифференциальными уравнениями, используя для их решения разработанные мощные аналитические и численные методы.

Сплошная однородная среда - это некоторая абстрактная, придуманная модель вещества, которая удачно отражает некоторые, (но далеко не все) его свойства. Любое вещество имеет дискретное строение: состоит из молекул, атомов, ионов, электронов. В объемах, соизмеримых с объемами атомов модель сплошной среды не работает, для описания процессов происходящих на таком уровне она непригодна, но она эффективно работает в тех случаях, когда процесс развивается в объемах, включающих тысячи, миллионы, миллиарды атомов. Один кубический миллиметр вещества в твердом или жидком состоянии содержит примерно 10²⁰ атомов, поэтому атомно-молекулярное строение вещества в технических приложениях не приводит к каким-либо ограничениям в использовании модели сплошной среды.

Многие вещества имеют сложную структуру, состоят из частиц, значительно более крупных. чем атомы или молекулы. Посмотрите на микрофотографию, приведенную на рис.1. На ней с увеличением в 90 раз видна полированная поверхность стального образца. Поверхность была протравлена специальными реактивами, поэтому на ней видна микроструктура материала.....

..........

В пределах каждого отдельного зерна материал можно считать сплошным однородным. На границе двух зерен свойства резко меняются, поэтому если изучаются явления, происходящие в объеме, который занимают несколько зерен, то материал нельзя считать однородным.

Для больших объемов материала, включающих тысячи зерен, роль каждого зерна сглаживается. При изучении явлений, происходящих в больших по сравнению с зерном объемах, смесь разнородных зерен можно рассматривать как единый однородный материал с некоторыми усредненными свойствами. Для большинства технических металлов линейные размеры зерен составляют сотые или десятые доли миллиметра; модель сплошной однородной среды позволяет исследовать процессы, происходящие в таких материалах с точностью, достаточной для большинства технических приложений.

На рис.2 показана микроструктура волокнистого композитного материала - стеклопластика, слои которого рассечены под различными углами к направлениям круглых армирующих стеклянных волокон, соединененных полимеризованной полиэфирной смолой. При расчетах конструкций из таких материалов тоже используется модель сплошной однородной среды, если характерные размеры конструкций много больше диметров волокон и толщин слоев.

Рис.2. Микрофотография среза слоистого композитного материала.

Железобетон - это тоже композитный материал, только армирован он не тонкими нитями, а массивными стержнями стальной арматуры. И такой материал в больших объемах можно рассматривать как одну анизотропную сплошную среду. Так и поступают при расчетах плотин гидроэлектростанций, мостов с большими пролетами, железобетонных сводов перекрывающих огромные площади.

Газы, жидкости и аморфные твердые тела лучше описываются моделью сплошной среды, чем поликристаллы или композиты, хотя жидкости и аморфные тела тоже могут иметь внутреннюю микроструктуру.