Сведения из теории

МАТИ – РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. К.Э. Циолковского

Кафедра «Материаловедение и технология обработки материалов»

Методические указания

к лабораторному практикуму по курсу «Теория фазовых и структурных превращений» для бакалавров по направлению 55.16.00 «Материаловедение и технология новых материалов»

Расчет критического размера зародыша и работы по его образованию в процессе кристаллизации для различных материалов

Рекомендовано методическим советом факультета № 4

Москва 2008

Научный редактор Член-корреспондент РАН, заслуженный деятель науки РФ, профессор, д.т.н. Ильин А.А.

Составители: Скворцова С.В., Клубова Е.В., Гуртовая Г.В.

Лабораторная работа № 1.

«Расчет критического размера зародыша и работы по его образованию в процессе кристаллизации для различных материалов»

Оглавление:

Сведения из теории ……………………………………………………………
Порядок выполнения работы ……………….……………………………….
Контрольные вопросы …………………………………...…………..………..
Литература ………………………………………………………………………

Лабораторная работа № 1.

Цель работы: Изучить влияние степени переохлаждения на размер критического зародыша и работу по его образованию.

Сведения из теории

Энергетическое состояние системы характеризуется особой термодинамической функцией G, называемой свободной энергией Гиббса.

При температуре Т₀ свободные энергии двух фаз равны, эта температура называется равновесной теоретической температурой или температурой термодинамического равновесия (рис.1).

Рис. 1.

При Т₀: G_L = G_S,

где G_L и G_S – свободные энергии Гиббса жидкой и твердой фаз.

Свободная энергия Гиббса может быть определена следующим образом:

G = E – TS + PV,

где E – внутренняя энергия,

S – энтропия,

Т – абсолютная температура (К),

V – объем,

E + PV = Н, где Н – энтальпия.

Тогда свободная энергия может быть выражена в виде:

G = H – TS [1]

Так как при температуре Т₀ G_L = G_S, то

H_L – T₀S_L = H_S – T₀S_S

H_L – H_S = T₀(S_L – S_S) [2]

H_L – H_S = L, [3]

где L – скрытая теплота плавления.

S_L – S_S = DS [4]

Тогда

L = DST₀

то есть DS = [5]

Для начала процесса кристаллизации необходимо переохлаждение ниже температуры T₀.

Величиной или степенью переохлаждения называется разность между температурой термодинамического равновесия (Т₀) и фактической температурой (Т):

DТ = Т₀ – Т [6]

Зарождение кристаллов

При любом фазовом превращении происходит изменение свободной энергии, которое описывается формулой:

DG = –DG_об+ DG_гр

DG = – (DG_хим+ DG_деф) + (DG_пов+ DG_упр)

DG_деф = 0

DG_упр = 0

DG = – DG_хим + DG_пов [7]

Для зародыша сферической формы радиуса r:

DG_хим = (G_L – G_S) pr³, [8]

где (G_L – G_S) – разница свободных энергий жидкой (L) и твердой (S) фаз – движущая сила превращения,

pr³ – объем зародыша сферической формы.

Обратимся к формулам [1] и [2], тогда можно записать:

(G_L – G_S) = (H_L – H_S) – Т(S_L – S_S).

Согласно формулам [3], [4] и [5]:

G_L – G_S = L–T

Путем несложных математических вычислений, получаем:

G_L – G_S = .

Учитывая формулу [6]:

G_L – G_S = DТ

Тогда формула [8] принимает вид:

DG_хим = – DТ pr³ [9]

Для сферического зародыша с радиусом r:

DG_пов = 4pr²g, [10]

где g – удельная поверхностная свободная энергия,

4pr²g – площадь поверхности зародыша сферической формы.

Принимая во внимание формулы [9] и [10], формулу [7] можно записать:

DG = – L pr³ + 4pr²g [11]

Для определения критического размера зародыша (r_кр) приравняем к нулю первую производную от DG по r, т.к. при r_кр функция проходит через максимум:

= 0