Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F(х) = Р(Х < х) непрерывна.
Плотность распределения f(x) должна удовлетворять двум условиям:
а) плотность распределения любой случайной величины неотрицательна:
(8.3)
Это свойство вытекает из того, что производная неубывающей функции f(х) = F'(х) неотрицательна, а функция распределения F(х) — функция, не убывающая по определению;
б) интеграл от плотности f(х) по всему интервалу (a, b) равен 1:
(8.4)
Функция распределения F(х) и плотность распределения f(x) обладают следующими свойствами:
1. Функция распределения случайной величины Х равна вероятности (по определению), значит, ее значения заключены в интервале от 0 до 1:
(8.5)
2. F(х) — неубывающая функция по ее определению, т.е. F(х2) > F(х1), если х2 > х1.
3. Если функция распределения непрерывна, то вероятность любого отдельного значения хi случайной величины равна нулю при этом значении:
Р(Х = х1) = 0,
если F(Х) непрерывна в точке X = хi.
4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал от α до β равна приращению функции распределения на концах этого интервала:
|
|
(8.6)
Учитывая свойство 3, можем записать следующее равенство:
(8.7)
То есть вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый интервал равна вероятности ее попадания в замкнутый интервал.
5. Вероятность попадания случайной величины X в интервал от α до β может определяться плотностью вероятностей:
(8.8)
6. Функция распределения удовлетворяет условиям:
(8.9)
7. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от до равен 1:
(8.10)
8. Функция распределения F(х) выражается через плотность f(x) формулой:
(8.11)
Непрерывная случайная величина X опредсляется заданием интервала (a, b), содержащего возможные значения этой величины, и функции f(х). Множество значений X может быть любым интервалом. Возможен даже случай а = ; а также b= .
Физический смысл плотности распределения f(х) следующий:
пусть (a’, b’) — произвольный интервал, содержащийся в (a, b) (то есть а<а', b<b'). Тогда вероятность того, что непрерывно распределенная случайная величина Х окажется в интервале (a’, b’), равна определенному интегралу
(8.12)
или площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у =f(х), снизу — осью Ох, а с боковых сторон — прямыми х = а и х = b (рис. 8.2).
График функции y = f(х) называется кривой распределения, или графиком плотности распределения. Кривая y = f(х) располагается над осью абсцисс.