З багатополюсниками. Метод підсхем

У задачах електроенергетики методи аналізу електричних кіл з багатополюсниками звичайно застосовують під час аналізу режимів ЕЕС на основі розбиття їх на підсистеми (підсхеми) — багатополюсники. Ці методи використовують, очевидно, й тоді, коли окремі елемен­ти схеми задані у вигляді багатополюсників і двополюсників.

Припустимо, що маємо схему, складену з багатополюсників і двополюсників, граф якої показаний на рис. 3.5, а. Нехай рівняння багатополюсників записані у вузлових напругах при базовому вузлі, що збігається з вузлом багатополюсника .

На основі рівняння багатополюсника його можна зобразити пов­ною схемою, тобто такою, в якій всі полюси сполучені між собою вітками з адмітансами, що дорівнюють відповідним взаємним адмітансам матриці адмітансів багатополюсника, а суми адмітансів віток, що сходяться у полюсах, дорівнюють відповідним власним адмітансам цієї матриці. У вузлах (полюсах) багатополюсника увімкнені джерела струмів як компоненти вектора-стовпця . Двополюсники, що виступають у схемі (на рис. 3.5, а це ребра 2 і 4 між полюсами 2, 4 та 1, 0 відповідно), задаються їхніми параметрами та джерелами ЕРС (на рис. 3.5, а це , та , ).

		Рис. 3.5

Таким чином, розрахункові умови та схеми кіл з багатополюсниками формально нічим не відрізняються від таких для кіл, складених тільки з двополюсників; отже, тут справедливі й відповідні методи ана­лізу — законів Кірхгофа, вузлових напруг, контурних струмів тощо. Очевидно, самі топологічні матриці кіл повинні формуватися з враху­ванням особливостей схем багатополюсників.

Рівняння багатополюсників, з полюсами яких не збігається базова вершина схеми (на рис. 3.5, а — багатополюсник ), виступають у розширеному вигляді. Із канонічної форми розширене рівняння бага­тополюсника отримується шляхом дописування одного рядка та стовп­ця матриці адмітансів, а також додаткового компонента вектора джерел струмів, які відповідають базовій вершині описан багатополюсника. При цьому -й елемент описанного рядка чи стовпця матриці дорівнює сумі з оберненим знаком елементів -го рядка чи стовпця канонічної матриці, а дописаний компонент вектора джерела струмів — сумі компонентів з протилежним знаком канонічного вектора джерел стру­мів. Очевидно, розширене рівняння багатополюсника можна безпосе­редньо сформувати на основі його підсхеми, беручи за базову верши­ну таку, що не збігається з жодним полюсом багатополюсника. Роз­ширена матриця параметрів багатополюсника є особливою.

Згідно з викладеним у методі вузлових напруг рівняння схеми, складеної з багатополюсників і двополюсників, записуємо аналогічно (2.44) у вигляді

(3.26)

де — матриця сполучень схеми, складеної з багатополюсників і двополюсників; — квазідіагональна матриця їхніх адмітансів; — вектор-стовпець вузлових напруг схеми; — вектор-стовпець її джерел струмів; — діагональна матриця адмітансів двополюсни­ків; — вектор-стовпець їхніх ЕРС.

Основне рівняння багатополюсника у вузлових напругах прийма­ємо у вигляді (3.23). Оскільки згідно з першим законом Кірхгофа сума полюсних струмів — компонентів вектора-стовпця та струмів двополюсників у вузлах їх сполучення дорівнює нулеві, то рівняння елементів схеми слід записувати без зовнішніх струмів, тобто в режи­мі неробочого ходу:

Для схеми рис. 3.5, а

Тут стовпці, що підпорядковані полюсам багатополюсників, мають подвійну нумерацію — верхні числа вказують номер багатополюсника, нижні числа — номери його полюсних віток. Кожному двополюснико­ві підпорядкований один стовпець з відповідним двополюсникові номером. Рядки матриці відповідають вершинам графа схеми;

Згідно з (3.26) формуємо рівняння стану схеми рис. 3.4, а в методі вузлових напруг

З отриманого рівняння видно, що рівняння стану в методі вузлових напруг кола, складеного з багатополюсників і двополюсників, можна сформувати безпосередньо на основі схеми цього кола за правилом, аналогічним для кіл, складених з двополюсників.

Розв’язавши рівняння схеми, за напругами зовнішніх вузлії багатополюсників на основі (3.9) обчислюємо вектор-стовпець напруг їхніх внутрішніх вузлів.

Не становить труднощів аналіз кола, складеного з багатополюсників і двополюсників, і в методі контурних координат. Рівнянню багатополюсника в контурних струмах відповідає заступна схема у вигляді сукупності взаємно зв'язаних зовнішніх контурів, в яких діють компоненти вектора еквівалентних ЕРС . Власні імпеданси цих контурів дорівнюють відповідним діагональним елементам матриці імпедан­сів рівняння багатополюсника, а взаємні — відповідним взаємним елементам матриці. Під час сполучення багатополюсників і двополюсни­ків у схему контури багатополюсників входять у контури схеми як складові частини останніх. У контурах схеми алгебричні суми напруг дорівнюють нулеві. Тому при використанні методу контурних струмів у схему слід уводити рівняння багатополюсників (3.22) без зовнішніх напруг (як, зрештою, у схемах з двополюсниками), тобто в режимі ко­роткого замикання

Таким чином, формально розрахункова схема кола з багатополюсни-ками в методі контурних координат не відрізняється від такої схеми з двополюсниками. Виходячи з цього, рівняння схеми, складеної з багатополюсників і двополюсників, можна записати у вигляді, аналогічному (2.33) з врахуванням (2.29), (2.30) і (2.32), а саме:

(3.27)

де — матриця контурів схеми; — квазідіагональна матриця імпедансів елементів схеми; — вектор-стовпець контурних струмів схеми; — вектор-стовпець напруг сторін схеми (напруг неробо­чого ходу сторін багатополюсників і ЕРС двополюсників); — мат­риця перетворення джерела струмів у вузлах двополюсників в еквівалентні ЕРС. Для кола, граф якого показаний на рис. 3.5, б,

що на практиці звичайно наявне в таких розрахункових схемах.

Згідно з (3.27) формуємо рівняння стану кола (рис. 3.5, б) у методі контурних струмів

.

Як бачимо, рівняння стану кола з багатополюсниками в методі контурних струмів можна сформувати безпосередньо зі схеми цього кола за правилом, аналогічним для кіл, складених з двополюсників.

Струми внутрішніх контурів багатополюсника як підсхеми зна­ходять з (3.2) на основі струмів зовнішніх контурів, визначених з рівняння стану схеми.

У випадку, коли потрібно зменшити кількість зовнішніх вузлових напруг чи контурних струмів рівняння багатополюсника, викори­стовують їх часткове виключення за відомим правилом. Для кіл висо­кої складності можна застосовувати багаторівневий метод підсхем, по­ступово знижуючи на кожному рівні порядок складності кола.

Метод діакоптики — аналіз кіл на основі розчленування матема­тичних моделей схем, реалізується аналогічно, як викладений метод підсхем, з такою різницею, що операції декомпозиції здійснюються на основі самих математичних моделей схеми.

Приклад 3.2. Два багатополюсники і сполучені між собою, як показано на рис. 3.6. Між полюсом 1 багатополюсника і полюсом 2 багатополюсника увімкнений активний двополюсник 4 з і . Полюси 4 обох багатополюсників сполучені пасивним двополюсником з . Рівняння обох багатополюсників такі, як у прикладі 3.1. Обчислити полюсні стру­ми багатополюсників.

Задача найпростіше розв'язується методом контурних струмів. Тут кількість незалежних вузлів така ж, як і кількість незалежних контурів (чотири). Однак за контурними струмами полюсні струми обчислю­ються легше, ніж за вузловими напругами.

Рис. 3.6

Рівняння багатополюсника використо­вується в розширеному вигляді. Коефіцієнти його матриці контурних імпедансів обчислюємо зі співвідношень

Напруга неробочого ходу багатополюсника

Рівняння схеми формуємо безпосередньо на основі її графа (рис. 3.6):

Після підставлення числових значень у записане рівняння отримуємо Отже, полюсні струми і т. д. На основі полюсних струмів можна обчислити всі координати багатополюсників.