2015-07-03
672
Приведем один из способов вычисления определенных интегралов методом Монте—Карло— способ усреднения подынтегральной функции.
Требуется найти оценку I 1 * определенного интеграла 
Рассмотрим случайную величину X, распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, b)с плотностью f (х) = 1 / (b — а). Тогда математическое ожидание
Отсюда
Заменим математическое ожидание 
его оценкой—выборочной средней, получим оценку I 1 * искомого интеграла:
где xi— возможные значения случайной величины X. Так как величина Х распределена равномерно в интервале (а, b)с плотностью f (x) =1/ (b—а), то хi, разыгрывают по формуле 
(см. гл. XXI, § 7, правило 2). Отсюда хi=а+ (b—а) ri.
Пример. Наитии: а) оценку I 1 * определенного интеграла 
б) абсолютную погрешность | I-I 1 * |; в) минимальное число испытаний, которые с надежностью γ= 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ =0,1.
Решение. Используем формулу
По условию a =1, b ==3, φ (х) =х+ 1. Примем для простоты число испытаний n =10. Тогда оценка
Результаты 10 испытаний приведены в табл. 36. Случайные числа взяты из приложения 9 с тремя знаками после запятой.
|
|
|
Таблица 36
| Номер испытания i | ||||||||||
| r 1 2r 1 xi= 1 + 2 r 1 | 0,100 0,200 1.200 | 0,973 1,946 2,946 | 0,253 0,506 1,506 | 0,376 0,752 1.752 | 0,520 1,040 2,040 | 0,135 0,270 1,270 | 0,863 1.726 2,726 | 0,467 0,934 1,934 | 0,354 0,708 1.708 | 0.876 1,752 2,752 |
| φ (xi)= xi +1 | 2,200 | 3,946 | 2,506 | 2,752 | 3,040 | 2,270 | 3,726 | 2,934 | 2,708 | 3,752 |
Сложив числа последней строки таблицы, находим 
Искомая оценка интеграла
I 1 * =2·(29,834/10) ==5,967.
б) Найдем абсолютную погрешность, приняв во внимание, что 
| I- I 1 * |=6—5,967=0,033.
в) Найдем дисперсию усредняемой функции φ (Х) =Х +1, учитывая, что случайная величина Х в интервале интегрирования (1,3) распределена равномерно и ее дисперсия D (X) = (3—1)2/12 (см. гл. XII, § 1, пример 2):
σ 2 =D (X +1)= D (X)=1/3.
г) Найдем минимальное число испытаний, которые с надежностью 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ =0,1. Из равенства Ф (t)=0,95/2=0,475 по таблице приложения 2 находим t =1,96. Искомое минимальное число испытаний
