Общие задания

1. Составьте глоссарий по изучаемой теме. Включите в него следующие и другие (самостоятельно подобранные по данной теме) термины: теплоемкость, теплота, работа расширения газа, энтропия (ОК-1, ПК- 19)

2. Изучите и запомните следующие формулы (ПК-1, ПК-19)

Наименование величины или физический закон	Формула
Внутренняя энергия газа
Количество теплоты, необходимой для нагревания тела с удельной теплоемкостью от температуры Т1 до температуры Т2
Теплота парообразования (r — удельная теплота парообразования)
Первый закон термодинамики в различных процессах	Изохорный процесс Изотермический процесс Изобарный процесс Адиабатный процесс
Работа газа в различных процессах	Изохорный процесс А =0 Изотермический процесс Изобарный процесс A =p( V2-V1 ) Адиабатный процесс
Уравнение Майера для молярных теплоемкостей газа в изохорном и изобарном процессах	Cp = Cv + R, где Cv = iR/2
Уравнение Пуассона, связывающее параметры газа в адиабатном процессе	, где γ = Ср /Сv
КПД любого теплового двигателя
КПД идеального теплового двигателя
КПД двигателя Карно
Элементарное изменение энтропии
Изменение энтропии в изохорном процессе
Изменение энтропии в изотермическом процессе
Изменение энтропии в изобарном процессе
Изменение энтропии в цикле Карно	= 0
Изменение энтропии в адиабатном процессе	= 0

Разберите самостоятельно следующие задачи (ОК-1, ПК-1, ПК- 3, ПК-19)

Задача 1

Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для кислорода.

Решение. Отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме идеального газа равно отношению его молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:

Зная, что молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме связаны с числом степеней свободы и равны:

и

Для отношения удельных теплоемкостей будем иметь

Кислород двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы i=5. Подставляя значение i в вышезаписанную формулу, имеем

Ответ: с_p/c_V=1,4.

Задача 2

Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа равна 14,7 кДж/(кг×К). Найти молярную массу этого газа.

Решение. Известно, что удельная теплоемкость при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью газа:

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

где i – число степеней свободы газа.

Таким образом:

Откуда

Подставляя в полученную формулу значения величин данных в условии задачи, с учетом того, что для двухатомного газа i=5, будем иметь:

Ответ: μ=0,002 кг/моль.

Задача 3

Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют w₁=80% и w₂=20% соответственно. Удельные теплоемкости для неона с_v=6,24×10² Дж/(кг×К), с_p=1,04×10³ Дж/(кг×К); для водорода – с_v=1,04×10⁴ Дж/(кг×К), с_p=1,46×10⁴ Дж/(кг×К).

Решение. В общем случае количество тепла необходимого для нагревания смеси газов, например, при нагревании в условиях постоянного объема от температуры Т₁ до температуры Т₂ равна:

где с_v(см) – удельная теплоемкость смеси;

(m₁+m₂) – масса смеси;

(T₂-T₁) – изменение температуры.

С другой стороны это количество тепла может быть вычислено по формуле:

где Q₁ и Q₁ – соответственно количество тепла, которое необходимо сообщить,чтобы изменить температуру неона и водорода в отдельности;

с_v1 и с_v2 – удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме;

m₁ и m₂ – массы неона и водорода.

Таким образом, имеем:

или

.

Откуда

где и – массовые доли неона и водорода соответственно.

Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении, будем иметь:

Аналогично можно получить формулу для определения удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении:

.

Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении, будем иметь:

Ответ: ;

Задача 4

Кислород массой 2 кг занимает объем V₁=1 м³ и находится под давлением p₁=0,2 МПа (см.рис.). Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления p₃=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

ΔU=c_vmΔT,

где c_v=iR/2μ – удельная теплоемкость при постоянном объеме;

μ – молярная масса газа;

ΔТ=(Т₃-Т₁) – изменение температуры газа в конечном и начальном состояниях;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ).

Температуру газа в начальном и конечном состояниях можно определить из уравнения Менделеева–Клапейрона:

.

Для начальной температуры

.

Для конечной температуры

Тогда изменение внутренней энергии газа

Подставляя численные значения, будем иметь

Дж.

Ответ: ΔU=3,25 кДж.

Задача 5

Кислород массой 2 кг занимает объем V₁=1 м³ и находится под давлением p₁=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления p₃=0,5 МПа. Найти работу, совершенную газом, и теплоту, переданную газу (рис. 3.9).

Решение. Из уравнения Менделеева–Клапейрона

можно определить температуры, характерные для соответствующих состояний:

.

Таким образом, температура газа в начальном состоянии

T₁=p₁V₁m/mR;

в промежуточном

T₂₌p₂V₂m/mR;

в конечном

T₃=p₃V₃ m/mR.

В процессе перехода газ совершал работу

A=A₁+A₂,

где A₁ – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления;

A₂ – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема.

Работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления определяется соотношением:

а работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема т.к. DV=0.

Таким образом, в данном случае

Количество тепла, переданного газу равно сумме изменения его внутренней энергии и работы, совершенной им:

Известно, что изменение внутренней энергии газа пропорционально изменению его температуры, при этом

.

Следовательно, для изменения внутренней энергии газа при его переходе из начального в конечное состояние, имеем:

где DТ=T₃–T₁.

Таким образом, для количества тепла переданного газу имеем:

Подставив численные значения величин, будем иметь:

Т₁=0,2×10⁶×1×32×10^–3/(8,31×10³×2)=385 К;

Т₂=0,2×10⁶×3×32×10^–3/(8,31×10³×2)=1155 К;

Т₃=0,5×10⁶×3×32×10^–3/(8,31×10³×2)=2888 К;

DU=5×2×8,31×(2888–385)/(2×32×10^–3)=3,25×10³ Дж;

A=2×8,31×(1155–385)/32×10^–3=0,4×10³ Дж;

Q=3,25×10³+0,4×10³=3,65×10³ Дж.

Ответ: A=Дж; Q=3,65×10³ Дж.

Задача 6

Масса m=10 г кислорода находится под давлением p=0,3 МПа и при температуре 10 ^oС. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем V₂=10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа W до и после нагревания.

Решение. Количество теплоты Q, полученное газом в процессе нагревания

где – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ);

R=8,31 Дж/(моль×К) – универсальная газовая постоянная;

m=0,032 кг/моль – молекулярная масса кислорода;

T₁ и T₂ – температуры газа в начальном и конечном состояниях. Для определения температуры газа в конечном состоянии воспользуемся соотношением между температурой и объемом газа, нагреваемого в условиях постоянного давления:

.

Откуда

Воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона, записанным в виде

находим объем газа в начальном состоянии:

Для конечной температуры будем иметь соотношение:

Подставляя численные значения, определяем конечную температуру газа:

Подставляя численные значения, находим количество теплоты, полученное газом в процессе нагревания:

Энергию теплового движения молекул газа можно определить по формуле

где C_V=iR/2 – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Таким образом, для энергии теплового движения молекул газа в начальном состоянии имеем:

в конечном состоянии

.

Ответ:Q=7,9 кДж; W₁=1,8 кДж; W₂=7,6 кДж.

Задача 7

В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T₁=300 К. Водород сначала расширялся адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

или ,

где g – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме;

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

A=mC_V(T₁-T₂)/m,

где C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Работа A₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

A₂=mRT₂ln(V₃/V₂)/m, или A₂=mRT₂ln(1/n₂)/m,

где

Выразив все величины в единицах СИ, подставив их в соответствующие формулы, произведем вычисления, учитывая, что для водорода как для двухатомного газа g=1,4, i=5 и m=2×10^-3 кг/моль, получим:

T₂=157 К;

A₁=29,8 кДж;

A=-21 кДж.

Знак минус показывает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.

Ответ: T₂=157 К; A₁=29,8 кДж; A=-21 кДж.

Задача 8

Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T₁=500 К (см. рис.). Определить термический КПД h цикла и температуру T₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу A=350 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

h=A/Q₁₌(Т₁-Т₂)/Т₁,

где Q – теплота полученная от теплоотдатчика;

A – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины;

T₁ – температура теплоотдатчика;

T₂ – температура теплоприемника.

Зная КПД цикла, по формуле T₂=T₁×(1-h) можно определить температуру теплоприемника.

В условии задачи все величины представлены в единицах СИ, подставив их в соответствующие формулы, произведя вычисления, получим:

h=350/1000=0,35;

T₂=500×(1-0,35)=325 К.

Ответ: h=0,35; T₂=325 К.

Задача 9

Идеальный трехатомный газ совершает цикл, состоящий из изохоры (1–2), изобары (2–3), изохоры (3–4) и изобары (4–1). Определить КПД цикла, если V₁=1,00 л, V₂=2,00 л, p₁=1,0 атм, p₂=2,0 атм. Считая величины V₁, V₂, p₁, p₂ переменными, принимающими любые положительные значения, найти предельный (наибольший) КПД данного цикла (см. рис.).

Решение. Рассмотрим процессы цикла по порядку.

1. Первый процесс. Объем V₁ газа сохраняется, при этом давление его увеличивается от p₁ до p₂. Так как при изохорном процессе давление газа пропорционально его абсолютной температуре, видим, что температура газа здесь повышается. Следовательно, газ при этом получает (от нагревателя) количество тепла Q₁₂.

2. Второй процесс. Давление p₂ газа сохраняется, объем же увеличивается от V₁ до V₂, при этом газ совершает работу, равную

A₂₃=p₂(V₂-V₁).

Так как при изобарном процессе объем газа пропорционален абсолютной температуре, видим, что температура газа и в этом процессе повышалась. Следовательно, и здесь газ получил количество теплоты Q₂₃.

3. Третий процесс. Процесс идет изохорно (V₂=const), давление газа уменьшается от p₂ до p₁, что означает понижение температуры. Следовательно, газ при этом отдает (холодильнику) количество теплоты Q₃₄.

4. Четвертый процесс. При постоянном давлении p₁ газ сжимается от объема V₂ до объема V₁ и совершает при этом отрицательную работу

А₄₁=p₁(V₁–V₂)=-p₁(V₂-V₁).

Уменьшение объема при изобарном процессе связано с понижением температуры газа. Следовательно, здесь, как и в предыдущем случае, газ отдает (холодильнику) некоторое количество тепла Q₄₁.

Теперь можно приступить к вычислению КПД цикла по формуле:

h=A/Q₁=(Q₁-Q₂)/Q₁=(T₁-T₂)/T₁.

где A – работа, совершенная рабочим веществом в течение цикла;

Q₁ – количество теплоты, полученное за это время рабочим веществом;

Q₂ – количество теплоты, отданное при этом холодильнику;

T₁ и T₂ – наивысшая и наинизшая температуры рабочего вещества.

Работа газа совершается во втором и четвертом процессах и равна

A=A₂₃+A₄₁=(p₂-p₁)(V₂-V₁).

Количество теплоты Q, сообщенное газу при его нагревании, найдем на основании первого начала термодинамики. Учитывая, что газ получает теплоту в первом и втором процессах:

Q=DU+A.

Изменение внутренней энергии DU при переходе газа из состояния 1 в состояние 3 вычислим как разность значений U₃ и U₁:

DU=U₃-U₁=imR(T₃-T₁)/2m

На основании уравнения газового состояния, можно записать:

DU=i(p₂V₂-p₁V₁)/2.

Подставив вместо DU и A₂₃ их значения в формулу для определения Q₁, получим

Q₁=i(p₂V₂-p₁V₁)/2+p₂(V₂-V₁).

Наконец найдем КПД цикла

Подставив числовые значения величин p₁, p₂, V₁, V₂, из условия задачи и учитывая, что газ трехатомный и, следовательно, i=6, получим:

.

Чтобы определить наибольший КПД цикла, выразим количество теплоты, сообщенное газу, через молярные теплоемкости C_p и C_V

Q=Q₁+Q₂=nC_V(T₂-T₁)+nC_p(T₃-T₂).

С помощью уравнения Менделеева–Клапейрона, записав его для каждого из трех состояний 1, 2, 3 преобразуем вышенаписанную формулу для Q₁:

Q₁=((p₂–p₁)V₁C_V/R)+((V₂-V₂)p₂C_p/R).

Подставив значения A и Q₁ в формулу для КПД, получим

Чтобы упростить исследование, разделим числитель и знаменатель на произведение p₂V₂ и введем обозначения a=p₁/p₂, b=V₁/V₂:

Заметим, что согласно условию каждая из величин a и b может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.

При произвольном фиксированном значении b выражение приобретает вид:

,

где K₁, K₂, K₃ – постоянные положительные величины.

Из полученного выражения видно, что h(a) – убывающая функция. Следовательно, она принимает наибольшее значение при a=0.

При любом фиксированном значении a имеем

где К₄, К₅, К₆ – постоянные положительные величины.

Из последнего выражения видно, что (b) – убывающая функция. Значит, ее наибольшему значению соответствует b=0.

Сопоставляя полученные результаты, приходим к выводу, что, положив в формуле для КПД a=0, b=0, найдем предельное значение h_пред:

h_пред=R/C_p=2/(i+2)=2/(6+2)=0,25.

Ответ: η=0,09; h_пред=0,25.

Задача 10

Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого h=0,25. Каков будет холодильный коэффициент h' машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении? Холодильным коэффициентом называется отношение количества теплоты, отнятого от охлаждаемого тела, к работе двигателя, приводящего в движение машину.

Решение. КПД любого цикла, в том числе и цикла Карно, можно определить по формуле

h=A/Q₁=(Q₁-Q₂)/Q₁.

Особенностью цикла Карно является его обратимость: процесс может протекать как в прямом, так и в обратном направлении. При обратном цикле Карно рабочее вещество будет, расширяясь по изотерме T₂=const, отбирать от холодильника количество теплоты Q₂ и, сжимаясь по изотерме T₁=const, отдавать нагревателю количество теплоты Q₁. При этом работа, совершенная рабочим веществом за один цикл, будет отрицательной (положительная работа расширения меньше по модулю отрицательной работы сжатия). В этом случае положительной будет работа A двигателя, приводящего в действие машину.

Согласно определению холодильного коэффициента, запишем

h'=Q₂/A.

Чтобы его определить, исключим из формулы КПД цикла Карно величину Q₁=A+Q₂:

h=A/(A+Q₂).

Выполнив преобразования, получим:

1/h=(A+Q₂)/A=1+Q₂/A=1+h'

или

h'=1/h-1.

Подставив численные значения, будем иметь

h'=1/0,25-1=3, или h'=300%.

Ответ: h'=3, или h'=300%.

Задача 11

Нагреватель тепловой машины, работающий по обратимому циклу Карно, имеет температуру t₁=200 ^oС. Определить температуру T₂ охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты Q₁=1 Дж машина совершает работу A=0,4 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитывать.

Решение. Температуру охладителя найдем, воспользовавшись выражением для термического КПД машины, работающей по циклу Карно:

h=(T₁-T₂)/T_1.

Отсюда

T₂=T₁ (1-h).

Термический КПД тепловой машины выражает отношение количества теплоты, которое превращено в механическую работу A, к количеству теплоты Q₁, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя):

h=A/Q₁.

Подставив это выражение, найдем

T₂=T₁(1-A/Q₁).

Учтя, что Т₁=473 К, после вычисления будем иметь

T₂=473(1-0,4/1)=284 К.

Ответ: T₂=284 К.

Задача 12

Струя водяного пара при температуре 100 ^oС, направленная на глыбу льда, имеющую массу m=5 кг и температуру 0 ^oС, растопила ее и нагрела получившуюся воду до температуры 50 ^oС. Найти массу израсходованного пара и изменение энтропии при описанных процессах.

Решение. Количество теплоты, необходимое для плавления льда и для нагревания полученной холодной воды, равно количеству теплоты, выделившейся при превращении пара в воду той же температуры и последующем охлаждении полученной горячей воды. Составим уравнение теплового баланса:

m₁l+cm₁(q-t₁)=m₂r+cm₂×(t₂-q),

где m₁ – масса льда;

m₂ – масса пара;

l – удельная теплота плавления льда;

r – удельная теплота парообразования воды;

с – удельная теплоемкость воды;

q – температура смеси;

t₁ – температура плавления льда;

t₂ –температура кипения воды.

Решая уравнение относительно m₂, получаем

.

Подставим числовые значения величин в единицах СИ: l=3,35×10⁵ Дж/кг, r=2,25×10⁶ Дж/кг, c=4,19×10³ Дж/(кг×град), m₁=5 кг, произведем вычисление, будем иметь

кг.

Изменение энтропии DS равно сумме изменений энтропии при таянии льда (DS₁), при нагревании получившейся холодной воды (DS₂), при превращении пара в воду той же температуры (DS₃) и, наконец, при охлаждении полученной горячей воды до окончательной температуры смеси (DS₄).

Изменение энтропии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 выражается формулой

Найдем изменение энтропии при каждом из описанных процессов:

1) при таянии льда температура T сохраняет постоянное значение, равное 273 К. Вынося постоянную температуру за знак интеграла, получаем

DS=Q₁/T,

где Q₁=lm₁ – количество теплоты, необходимое для таяния льда.

Следовательно,

DS₁=lm₁/T.

2) при нагревании воды на dT требуется количество теплоты, равное:

dQ₂=cm₁dT.

Следовательно, изменение энтропии при нагревании воды выразится так:

3) при превращении пара в воду той же температуры изменение энтропии может быть найдено на основании тех же соображений, что и в случае таяния льда, т.е.

DS₃=Q/T=-rm₂/T.

Изменению энтропии приписывается знак "минус", так как теплота выделяется.

4) наконец, изменение энтропии, происходящее при охлаждении полученной горячей воды, найдем на основании тех же рассуждений, что и в случае нагревания воды, т.е.

DS₄=-cm₂×lnT₂/T₁.

Знак "минус" – так как теплота отбирается.

Полное изменение энтропии рассмотренных процессов будет равно:

DS=DS₁+DS₂+DS₃+DS₄,

или

DS=lm₁/T₁+cm₁×lnq/T₁–rm₂/T₂–cm₂×lnq/T₂.

Подставляя численные значения величин в единицах СИ, произведем вычисление, имеем

DS=3,35×10⁵×5/273+4,19×10³×5×ln323/273–2,25×10⁶×1,11/373-4,19×10³×

×1,11×ln323/373=2,27×10³ Дж/К.

Ответ: m₂=1,11 кг; DS=2,27×10³ Дж/К.