Теорема: «Выделить из квадратного трехчлена квадрат двучлена значит записать его в виде , m, n- некоторые числа» вводится на уроке №11.
4.1. Подготовительный этап
4.1.1. Мотивация изучения теоремы
Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида , где - независимая переменная, а, , с- некоторые числа, причем а≠0.
Для мотивации необходимости изучения этой теоремы рассмотрим некоторую задачю.
1. Построить график функции .
Приведем таблицу значений этого трехчлена при некоторых значениях х.
Х | -4 | -2 | -1 | ||||||||||
У | -5 | -8 | -9 | -8 | -5 |
Рис. 16
Корнями трехчлена являются числа -1 и 5. Эти числа мы могли найти решив уравнение .
Рассматривая таблицу замечаем, что при увеличении значений х значения у сначала убывают, а затем возрастают.
4.1.2. Актуализация знаний и умений учащихся, необходимых для сознательного освоения теоремой
Для усвоения теоремы ученики должны владеть такими понятиями как:
· квадратичная функция;
· квадрат двучлена;
· график квадрата двучлена;
· преобразования графиков.
Упражнения на повторение этих понятий:
1. Какие из функций являются квадратичными?
2. Укажите выражения, которые по вашему мнению, являются квадратом двучлена:
3. Постройте графики функций:
4. По построенным в задании 3 графикам, укажите геометрические преобразования, которыми вы пользовались в построении.
4.1.3. Подведение учащихся к формулировке
Для подведения учеников к теореме учитель предлагает классу построить графики некоторых функций.
1.
2.
3.
4.
Для построения этих графиков можно пользоваться всем, что вы изучили ранее.
-Как вы будите строить график первой функции?
- Зададим функцию таблично.
- Да, в этом случае можно поступить так.
- Как построить график второй функции?
- Раскрыть скобки и задать функцию таблично.
-А что будем делать с функцией №3, как построить ее?
- Поступим аналогично, как с функцией №1.
- Как построить график функции №4?
- Можно использовать геометрические преобразования.
- Давайте построим графики функции №3 и №4, так как Вы предложили.
Построим график функции №3.
Х | -3 | -2 | -1 | ||||
у | -4 | -6 | -6 |
Рис. 17
Построим график функции №4
используя геометрические преобразования.
Построим график функции , затем перенесем его на 1.5 вправо и опустим на 6.25 единиц вниз.
Рис. 18
Из построенных графиков функций видно, что графики получились одинаковые, но график функции №4 мы построили быстрее, используя геометрические преобразования.
Для более быстрого решения подобных задач применяют некоторую формулу:
, m, n- некоторые числа.
4.2. Основной этап
4.2.1.Формулировка теоремы, овладение содержанием, структурой и назначением
Запишем нашу теорему в импликативной форме:
«Если некоторый многочлен является квадратным трехчленом , то его можно представить в виде , m, n- некоторые
числа».
В знаково- символьной форме теорема будет иметь вид:
Запись на доске:
m, n
Теорема является простой, так как она содержит одно условие и одно заключение.
Эта теорема задает свойства квадратного трехчлена.
4.2.2. Формирование ориентировочной схемы доказательства
Теоремы
Поиск доказательства теоремы:
Учитель: Глядя на условие теоремы, как вы думаете, с чего необходимо начать ее доказательство?
Ученик: Мы знаем, что графиком этой функции является парабола, так давайте найдем координаты ее вершины.
Учитель: Да, правильно, мы должны" знать расположение данной параболы. А что еще видно из формулы которая находиться в правой и левой части равенства?
Ученик: Ну, если мы посмотрим на левую и правую части равенства, то увидим, что коэффициент а вынесен за скобки, в правой части.
Учитель: Молодец, точно подметил! Следовательно, при доказательстве данной теоремы, коэффициент а мы тоже вынесем за скобки. Посмотрим, что останется в скобках, которые мы видим должны быть полным квадратом, стоящим в правой части равенства.
Ученик: Значит, нам надо будет дополнить выражение в скобках так, чтобы получился полный квадрат!!!
Учитель: Ну, что же давайте запишем план доказательства и будем ему следовать.
План доказательства:
1. Запишем квадратичную функцию в общем виде у = .
2. Находим вершину параболы.
3. В формуле квадратичной функции вынесем а за скобки, а 0.
4. Дополним до удвоенного произведения.
5. Прибавим и вычтем .
6. Сгруппируем до формулы.
7. Сравниваем левую и правую части равенства.
1.2.3. Проведение доказательства
Рассмотрим общий случай. Пусть имеется квадратичная функция у = , а 0.
Найдем вершину параболы.
В вынесем а за скобки и дополним до удвоенного произведения, прибавим и вычтем .
Заметим, что = т, запишем нашу формулу в этих обозначениях.
ах2 + х + с = а(х - т)2 + п
Сравнив левую и правую части равенства, указанного в теореме мы видим, что теорема доказана.
4. 3.. Заключительный этап
4.3.1. Включение теоремы в систему знаний
Задача: Построить график квадратичной функции у = х2 + 4x+3
Т.к. х2 + 4х + 3 = х2 + 4х + 4 — 4 + 3 = (х + 2)2 — 1, то график такой функции можно получить из графика функции у = х2 при помощи двух параллельных переносов: вдоль оси х на 2 единицы влево и вдоль оси у на 1 единицу вниз.
Рис. 19
Задачи для выполнения
Базовый уровень:
1. Найти координаты вершины параболы у = 2х2 — 6х + 3. Пересекает ли эта парабола ось х?
2. Постройте графики функций:
у = х2 + 2х — 3; у = -х2 + 4х;
у = 2х2 — 4х +3; у = -х2 + 8х + 3
Достаточный уровень:
1. Постройте графики функций:
у = Зх2 + 6х — 5;
2. Постройте график функции у = х2 + 6х + 5. Используя график, найдите:
-область значения функции;
-все значения х, при которых функция принимает отрицательные значения;
-промежуток, на котором функция убывает.
Высокий уровень:
Ø При каких значениях а и b вершиной данной параболы является данная точка А?
у = х2 + + х + с. А(-4;2)
Ø Постройте графики функций:
у = \2х2 — 8х + 6|.
у = |-2х2 + 8|х| - 6.