Метод наименьших квадратов

Пусть в таблице задана п+ 1точка (х ₀, y ₀), (х ₁, y ₁),..., (х _n, у_п)и требуется найти аппроксимирующую кривую h (x)в диа­пазоне х ₀£ х £ х _п. В этом случае погрешность в каждой табличной точке будет равна:

Сумма квадратов погрешностей

Т.е. ищется такой вид функции h (x), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратическая погрешность аппроксимации.

При этом решение задачи может вестись в следующих условиях:

1) Если вид функции h (x) известен, то определяются параметры, от которых зависит её значение при известных x, из системы уравнений, выражающих равенство нулю частных производных

Например, если известно, что функция

,

то определению подлежат коэффициенты A, B и C. Следует учитывать, что число экспериментальных точек не может превышать число определяемых коэффициентов (параметров).

2) Если вид функции h (x) неизвестен, то аппроксимирующую кривую можно представить в виде суммы k известных функций g _k(x). Как правило, применяются линейные комбинации

Коэффициенты с _k определяют из системы линейных уравнений, выражающих

Очевидно, что задача имеет решение при k £ n. В некоторых учебниках решение этой задачи называется построением линейной регрессии общего вида.

Иногда исходную таблицу разбивают на несколько частей и подбирают отдельную аппроксимирующую кривую для каждой части, однако это надо делать осмотрительно. Такой подход оправдан в тех случаях, когда есть основания полагать, что аппроксимируемые данные соответствуют разным физическим состояниям системы. Примерами могут служить переходы конструкции от устойчивого состояния к неустойчивому, переходы от дозвукового течения к сверхзвуковому или от ламинарного к турбулентному. Пользуясь приближенной формулой, не следует выходить за пределы интервала, в котором она справедлива.