Капельная модель ядра

Одной из главных характеристик ядра является его масса, которая определяется массовым числом A. Масса ядра M немногим меньше суммы масс протонов mp и нейтронов mn, входящих в него. Число протонов в ядре обозначается буквой Z, а число нейтронов - через N. Число протонов в ядре определяет его заряд q=Ze и также является характеристикой ядра.Масса ядра равна Zmp+mnN-DM, где DM - дефект массы. Дефект массы является следствием межнуклонного притяжения. Чтобы разобрать ядро на составные части надо совершить работу W против сил притяжения, равную энергии связи ядра. Ясно, что энергия ядра в разобранном состоянии (Zmp+mnN)c2 больше энергии ядра как такового Mc2 на W:
(Zmp+mnN)c2-Mc2=W. (1)
Очевидно, что
W=DMc2. (2)
Дефект массы, таким образом, является мерой прочности ядра, а ос­новная его характеристика - масса - определяет энергию связи. Например, измерения массы ядра изотопа лития 6Li с помощью масс-спектрометра показали, что его масса равна 5601,42 МэВ. Масса входящих в него трех протонов и трех нейтронов равна 3mpc2+3mnc2=3×938,28+3×939,57=5633,55 МэВ, следовательно, энергия связи ядра данного изотопа равна 5633,55-5601,42=32,13 МэВ. Из вышеизложенного ясно, сколь важны точные измерения масс элементов с помощью высокоточных масс-спектрометров.

Одно из наиболее удивительных свойств ядер заключается в том, что, начиная с массовых чисел в несколько десятков, энергия связи, приблизительно, пропорциональна массовому числу A (энергия, приходящаяся на один нуклон, одна и та же). Это свойство обязано малому радиусу адронного взаимодействия между нуклонами. Каждый нуклон взаимодействует только с ближайшими соседями. Ситуация такая же, как в жидкости, где также имеет место межмолекулярное взаимодействие только между ближайшими соседями. Энергия связи устойчивых ядер, отнесенная к одному нуклону, как функция массового числа, имеет вид, изображенный на рисунке 32. В области малых значений массового числа энергия связи значительно ниже среднего уровня. Максимума зависимость достигает в районе значений массового числа ядра железа (60). При дальнейшем увеличении A энергия связи плавно уменьшается.

Отвлечемся на минуту от основной нити обсуждения. Вид графика указывает на способ выделения ядерной энергии. Если два легких элемента с малыми энергиями связи слить вместе, например, слить два ядра углерода 12C, то получится ядро магния 24Mg. Произойдет перемещение по графику на участокс большей удельной энергией связи. Избыток энергии двух ядер углерода выделится в виде излучения, тепла, и его можно использовать по назначению. Эти ядерные превращения называют ядерными реакциями синтеза. В настоящее время они используются в термоядерном оружии. Если же тяжелое ядро, такое, как уран 235U, расщепить на две части, то получатся два более легких ядра. Произойдет перемещение по графику назад, на участокс большей энергией связи. При таком делении также выделится запасенная в ядре урана энергия. Данные ядерные превращения называют ядерными реакциями деления. В настоящее время они используются в ядерных реакторах на атомных электростанциях.

Непостоянство удельной энергии как функции массового числа уже можно частично понять из проведения аналогии с жидкостью. Как показывают эксперименты по рассеянию частиц на ядрах, плотность ядерной материи во всех ядрах одна и та же. Поэтому его размер (радиус) пропорционален корню кубическому из массового числа - A1/3. Нуклоны, находящиеся в массиве ядра, взаимодействуют с максимально возможным числом ближайших соседей. Нуклоны на поверхности взаимодействуют с меньшим числом нуклонов и дают меньший вклад в энергию связи, чем нуклоны в массиве. Поверхностные нуклоны понижают энергию связи. Их число пропорционально площади поверхности ядра. Таким образом, энергия связи должна выражаться как минимум двумя слагаемыми:
W=aVA-aSA2/3 Þ W/A=aV–aSA-1/3. (3)
Слагаемое, отвечающее понижению энергии связи из-за наличия поверхности, особенно важно для легких ядер. Оно ответственно за падение графика зависимости при малых A. Постоянные aV и aS можно подогнать под экспериментальную кривую. Оказывается aV=15,8 МэВ; aS=17,2 МэВ. Постоянная играет роль коэффициента поверхностного натяжения.

Модель жидкой капли позволяет объяснить ряд явлений. Оказывается, ядро может излучать электромагнитные волны особой конфигурации. Изучение этого излучения показало, что оно может быть объяснено как излучение колеблющегося заряженного шара. Возвращающие силы возникают за счет поверхностного натяжения ядра. Расчет частот излучения в модели жидкой капли дает согласие с данными экспериментов для некоторых мод излучения.

Модель жидкой капли, кроме того, позволяет делать оценки минимальной энергии возбуждения тяжелого ядра, необходимой для его деления. Здесь следует принимать во внимание кроме поверхностного натяжения еще и электростатическое отталкивание удаленных частей. Колебания капли большой амплитуды приводят к тому, что в фазе вытянутой формы результирующая сила поверхностного натяжения, препятствующая дальнейшему вытягиванию, уменьшается из-за пропорциональности длине окружности, разграничивающей части капли уменьшающегося радиуса. Электрическая сила, расталкивающая части ядра, является дальнодействующей и слабо понижается при вытягивании, поэтому при достижении некоторой критической формы удлинение необратимо продолжается. Возникает перетяжка. Наконец происходит деление.

Мы должны отметить также, что два слагаемых в формуле (3) не объясняют падение энергии связи при увеличении массового числа тяжелых ядер. Для объяснения этого надо принять во внимание то, что ядерная жидкость заряжена. Каждый протон отталкивается от каждого. Энергия электростатического отталкивания пропорциональна числу всевозможных пар протонов, т.е. Z(Z-1)/2, или приблизительно Z2/2. Кроме того, кулоновская энергия обратно пропорциональна расстоянию между протонами, т.е. размеру ядра. Электростатическое отталкивание понижает энергию связи (оно помогает разрушить ядро). Таким образом,
W=aVA-aSA2/3-aEZ2/A-1/3 Þ W/A=aV-aSA-1/3-aEZ2/A4/3. (4)
Качественно, кривая, задаваемая уравнением (4), правдоподобно согласуется с экспериментальными данными (она изображена на рисунке 37).

Задача 1. Сделайте качественное объяснение возникновения возвращающей силы при деформации ядра. Оцените энергию поверхностного натяжения ядра.

Решение. Задача состоит в том, чтобы оценить работу, которую надо совершить, чтобы создать поверхность, ограничивающую ядерное вещество. Предположим, что нуклоны в ядре плотно упакованы, т.е. число ближайших соседей к данному нуклону равно q=12. Если Eсв - энергия связи ядра, то энергия, приходящаяся на одну пару, будет равна Eсв/6A (У каждого нуклона 12 соседей, значит, он является участником 12 пар. При суммировании пар по всем нуклонам каждая пара пересчитывается два раза, поэтому число разных пар нуклонов оказывается равным не 12A, а половине этого значения.) Величина Eсв/A - удельная энергия связи, равна примерно для стабильных ядер 8¸9 МэВ. На плоской поверхности число ближайших соседей уменьшается на 3. Таким образом, выход нуклона на поверхность приводит к увеличению энергии ядра на 3×Eсв/6A=Eсв/2A. Чтобы определить коэффициент поверхностного натяжения, надо эту энергию поделить на площадь поверхности, приходящуюся на один нуклон. Воспользуемся данными задачи 2. Радиус ядра с массовым числом A равен
r=0,94A1/3×10-15м. Объем ядра – На один нуклон приходится объем, равный 3,48×10-45м3. Ребро кубика, приходящегося на один нуклон, равно b=1,52×10-15м. Итак, на поверхности ядра на один нуклон приходится площадка - b2=2,30×10-30м2. А энергия поверхностного натяжения - 1 Фм=10^-15 м (ферми).

При подведении итогов решения задачи обратите внимание на то, что энергия поверхностного натяжения уменьшает энергию связи ядра, приходящуюся на один нуклон, по закону A-1/3.

Роль электростатической энергии отталкивания при ядерном распаде иллюстрируется решением задачи 2.

Задача 2. Ядро с зарядом Ze радиуса r=0,94A1/3×10-15м распалось на два равных осколка. Проведите оценочные расчеты увеличения кинетической энергии, обусловленного электрическим отталкиванием, при z=92, A=235. Считайте, что при делении вылетели 15 нейтронов.

Решение. В курсе 10 класса было показано, что однородно заряженная зарядом Q сфера радиуса r имеет потенциальную энергию В ядре заряд распределен не по поверхности, а по объему, тем не менее для оценки потенциальной энергии воспользуемся формулой для энергии заряженной сферы, так как точное значение отличается от оценочного только численным множителем порядка единицы. Итак, начальное значение энергии электрического поля примерно равно
. (1)

При распаде на два равные осколка получаются два ядра палладия. А так как при этом вылетают 15 нейтронов, массовое число ядер палладия будет равно A2(235-15)/2=110. Заряд ядра палладия равен Z1e/2. Так что энергия электрического поля двух удаленных на большое расстояние ядер палладия равна
(2)
Соответственно, разность потенциальных энергий электрического поля до и после распада -