Построения

1 2

Построения циркулем и линейкой.

Нулевой цикл.

Это серия задач – базовая. Без них остальные задачи на построение решаться не будут.

При помощи циркуля и линейки поделите данный отрезок пополам.
При помощи циркуля и линейки постройте угол, равный данному.
При помощи циркуля и линейки постройте отрезок, равный сумме двух данных.
При помощи циркуля и линейки постройте угол, равный сумме двух данных.
При помощи циркуля и линейки поделите данный угол пополам.
При помощи циркуля и линейки постройте перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку.
При помощи циркуля и линейки постройте прямую, параллельную данной, проходящую через данную точку.
При помощи циркуля и линейки поделите данный отрезок на n равных частей.

Построения.

Далее в каждой задаче этого не говорится, но все построения выполняются циркулем и линейкой.

Дан треугольник. Постройте его медианы.

Постройте угол, равный: a. 30 градусам, b. 45 градусам, c. 60 градусам, d. 150 градусам.

Постройте треугольник:

По двум сторонам и углу между ними,
По стороне и прилежащим углам,
По трём сторонам,

Постройте окружность данного радиуса, высекающую на данной прямой отрезок, равный данному.
Постройте окружность данного радиуса, центр которой находился бы на данной прямой.
Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.
Постройте прямоугольный треугольник:

По двум катетам,
По катету и прилежащему острому углу,
По катету и гипотенузе,
По гипотенузе и острому углу.

Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте к основанию.
.Дан треугольник. Постройте его описанную окружность.
Дана прямая и точка на ней. Постройте окружность данного радиуса, которая касается данной прямой в данной точке.
Дан треугольник. Постройте его вписанную окружность.
Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.
Даны отрезки длин a, b, c. Постройте отрезок x, равный x=ac/b.
Постройте треугольник:

По двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них,
По двум сторонам и радиусу описанной окружности,
По двум сторонам и высоте, проведённым из одной вершины,
По стороне и высотам, проведённым к двум другим сторонам,
По углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла,
По стороне, медиане, проведённой к этой высоте, и высоте, опущенной на другую сторону.
По стороне, медиане, проведённой к этой стороне и прилежащему к ней углу,
По стороне, противолежащему углу и высоте, опущенной на сторону,
По стороне, прилежащему углу и радиусу вписанной окружности,
По периметру и двум углам.

Дана окружность и угол. Постройте точку, из которой данная окружность видна под данный углом.
Дана окружность и точка. Постройте касательные к окружности, проходящие через эту точку.
Постройте касательную к данной окружности, параллельную данной прямой.
Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную заданному отрезку.
Даны две окружности. Постройте их общую касательную (рассмотрите все случаи взаимного расположения окружностей!)
Дана прямая l и точки А и В по разные стороны от неё. Постройте на прямой l такую точку С, чтобы прямая l делила угол АСВ пополам.
Дана прямая l и точки A и В по одну сторону от неё. Луч света, выпущенный из А, отражается от прямой в точке С и попадает в точку В. Постройте точку С. (Угол падения равен углу отражения.)
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.
Постройте треугольник по стороне, прилежащему углу и сумме двух других сторон.
Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.
Впишите в окружность прямоугольный треугольник, катеты которого проходили бы через две данные точки.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.
Постройте окружности с центрами в трёх данных точках, попарно касающиеся друг друга внешним образом.
Даны три точки. Постройте окружности, попарно касающиеся в этих точках.
Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой пополам.
Постройте окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной на ней точке.
Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектрис. (Основание биссектрисы – её общая точка со стороной, противолежащей углу. Таким образом, надо построить треугольник, если уже построены три точки.)
Дана окружность, её диаметр АВ и точка С на этом диаметре. Постройте на окружности две точки Х и Y, симметричные относительно диаметра АВ, для которых прямая YC перпендикулярна прямой ХА.
Теорема Фалеса

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС лежат соответственно точки Р и К, так что РК||ВС. Найти КС, если известно, что ВР = 2, АР = 1, АК = 21.
В трапеции ABCD основания BC и AD равны a и b. На AB отмечены точки M₁ и M₂ так, что AN₁=N₁N₂=N₂B, на CD отмечены точки N₁ и N₂ так, что DM₁=M₁M₂=M₂C. Найти M₁N₁ и M₂N₂.
На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K. Отрезок CK пересекает медиану AM треугольника в точке P. Оказалось, что AK = AP. Найдите отношение BK: PM.
Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на n равных частей. Первая точка деления P соединена с вершиной B. Доказать, что прямая BP отсекает на диагонали AC часть AQ, которая равна 1/(n+1) части диагонали, т.е. AQ = AC/(n+1).
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причём = = 2 и ACB = 2 DEB. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
Точка M расположена на боковой стороне AB трапеции ABCD, причём AM:BM= 2:1. Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если AD = 18, BC= 6.
На медиане AM треугольника ABC взята точка K, причём AK:KM = 1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K параллельно стороне AC, делит сторону BC.
Доказать, что при параллельном проецировании на прямую а проекции противоположных сторон параллелограмма равны. (проекцией точки Х является точка пересечения прямой, содержащей Х, с прямой а.)
В треугольнике ABC точка K на стороне AB и точка M на стороне AC расположены так, что АК:КВ=3:2, а АМ:МС=4:5. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K параллельно стороне BC, делит отрезок BM.
В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса BD к боковой стороне. На прямой ВС выбрана точка Е так, что угол EDB — прямой. Найдите ВЕ, если CD = 1. (Hint. Отметить середину ВЕ.)
В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AC взяты соответственно точки M, K и L так, что прямая MK параллельна прямой AC и ML параллельна BC. При этом отрезок BL пересекает отрезок MK в точке P, а AK пересекает ML в точке Q. Докажите, что отрезки PQ и AB параллельны.