представляет собой затухающие собственные колебания, которые рано или поздно затухнут, т.е. u1 обратится в нуль. Поэтому для нас представляет наибольший интерес нахождение слагаемого u2, характеризующего установившиеся колебания напряжения под действием внешнего источника (так называемые вынужденные колебания).
Частное решение уравнения (7) проще искать в комплексной форме, заменив в его правой части cos на exp , которая пропорциональна действительной части выражения
.
Пусть решением нового уравнения является комплексная функция (u с «крышей»), так что
. (8)
Тогда действительная часть этой функции, т.е. Re , является решением уравнения, у которого в правой части стоит Re , т.е. искомым решением уравнения (7) [1].
Будем искать частное решение уравнения (8) в виде
. (9)
Функция должна удовлетворять неоднородному уравнению (8).
Продифференцируем функцию (9) по времени
,
и подставим в уравнение (8)
.
.
Сократим на и найдем амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе А в формуле (9)
|
|
.
Амплитуда колебаний оказалась комплексной величиной благодаря знаменателю, который мы представим в виде
. (10)
,
где и – вещественные величины.
Чтобы найти модуль комплексного числа, умножим выражение (10) на взаимно сопряженное выражение
.
В результате получится
,
откуда
.
Таким образом, колебания напряжения на конденсаторе описываются следующим соотношением:
,
или
и, следовательно,
, (11)
Итак, в рассматриваемой электрической цепи с течением времени устанавливаются вынужденные колебания с той же частотой , какова частота колебаний источника. Амплитуда вынужденных колебаний напря-жения на конденсаторе – то, что стоит перед знаком cos в формуле (11) – не зависит от времени и определяется, в основном, частотой собственных колебаний и частотой внешнего воздействия , такова
. (12)
Характерный вид резонансных кривых напряжения на конденсаторе колебательного контура, определяемых формулой (12), показан на рис.2.
Исследуем амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе u2m (12) на экстремум. Амплитуда становится максимальной в том случае, если знаменатель минимален, а его производная по обращается в нуль
,
.
Полученное выражение обращается в нуль, если 1) , но этот случай для нас в данный момент не представляет интереса; или 2) . Отсюда следует, что при некоторой частоте источника амплитуда колебаний становится наибольшей. Такую частоту называют резонансной – . Для резонансной частоты из условия (2) получается следующая формула:
. (13)
Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты внешнего воздействия называется резонансом.
|
|
Если коэффициент затухания небольшой, т.е. << , то резонансная частота почти совпадает с собственной частотой контура . Амплитуда напряжения на конденсаторе при этом равна
. (14)
Из формулы (11) видно, что напряжение на конденсаторе u2 и входное напряжение u(t) (1) не совпадают по фазе. Разность фаз между ними, также как и амплитуда, зависит, в основном, от частот w и w 0; ее можно определить как аргумент комплексного числа (10):
, . (15)
График зависимости разности фаз от частоты колебаний источника представлен на рис.3.
Рис.2. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты источника | Рис.3. График зависимости разности фаз напряжения на конденсаторе и напряжения источника от частоты | |||
Если от величин и перейти к параметрам колебательного контура L,C,R, то для амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе вместо выражения (12) получится следующая формула:
. (16)
Вместо выражения (13) для резонансной частоты получается формула
. (17)
Амплитуда напряжения (14) на резонансной частоте такова:
. (18)
Зная напряжение на конденсаторе (11), можно вычислить заряд конденса-тора, а затем и ток в контуре
,
,
,
. (19)
Таким образом, ток в конденсаторе опережает напряжение на нем по фазе на p/2.
Амплитуда тока также изменяется с частотой источника резонансным образом согласно формуле
, (20)
а график этой зависимости приведен на рис. 4.
Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при частоте, совпадающей с собственной частотой контура w0. Амплитуда, выраженная через параметры цепи L,C,R, запишется так: . (21) | |
Рис.4 |
Для разности фаз вместо формулы (15) запишем следующую:
. (22)
Цель лабораторной работы: а)наблюдение резонанса напряжений в последовательном контуре, б)снятие резонансных характеристик такого контура, в)определение его резонансной частоты, г)сравнение результатов, полученных при теоретическом анализе, с опытными данными. |