Вынужденные электрические колебания

Приборы и принадлежности: лабораторная панель «Колебательный контур», генератор сигналов низкочастотный Г3-120, вольтметр В7-38, осциллограф С1-94.

Введение. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из резистора с активным сопротивлением R, катушки c индуктивностью L и конденсатора емкостью С (рис.1). Предположим, что соединительные провода не обладают ни сопротивлением, ни емкостью, ни индуктивностью. Такая электрическая цепь называется цепью с сосредоточенными параметрами.

В каком-то месте разорвем последовательную цепь элементов и на образовавшиеся контакты подадим переменное периодическое напряжение U(t) от внешнего источника тока, которое изменяется со временем по гармоническому закону

, (1)

где u(t) – мгновенное значение напряжения в момент времени t,

U_m – амплитуда входного напряжения,

– круговая (циклическая) частота колебаний входного напряжения.

Для описания изменений напряжения и тока в такой цепи достаточно написать и решить одно уравнение – уравнение Кирхгофа (в дальнейшем нам предстоит в этом убедиться). Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжения на всех элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре,

, (2)

где i – мгновенное значение тока в цепи,

u_C – напряжение на конденсаторе,

– L ЭДС самоиндукции катушки.

Вместо ЭДС источника тока в уравнение поставлено напряжение на его зажимах u(t), тем самым учтено и исключено падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника.

Перепишем уравнение (2) так:

. (3)

Перейдем в уравнении (3) к одной переменной, например, к u – напряжению на конденсаторе (индекс С в дальнейшем опустим для упрощения записи), используя следующие замены:

и . (4)

После этого уравнение (3) примет вид

. (5)

Разделив все члены уравнения (5) на LC и вводя обозначения, принятые в учебной литературе,

, , (6)

получим . (7)

Величина называется коэффициентом затухания, – собственной частотой контура.

Решив полученное уравнение (7) и используя соотношения (4), можно получить ответы на вопросы о том, как изменяется напряжение на конденсаторе и других элементах цепи, как изменяется ток в цепи со временем, от чего зависит их величина и т.п. Таков теоретический подход к анализу данной цепи. Затем сравниваются теоретические результаты с экспериментальными. В этом состоит одна из задач данной лабораторной работы.

Итак, решаем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка (7). Его решение представляет собой сумму двух слагаемых

u = u₁ + u₂,

где u₁ – общее решение соответствующего однородного уравнения,

u₂ – одно из частных решений неоднородного уравнения.