Пример 1

Рассмотрим функцию f(x)= 1/3 x³ - x² +1/3 (рис. 3).

Производная этой функции есть: (f(x))'= (1/3 x³ - x² +1/3) ' = 1/3 * 3x² - 2 x = x² - 2x.

На интервале (-1, 0) функция возрастает. А, значит, для любой точки из этого интервала теорема должна выполняться. Рассмотрим производную данной функции в точке х = -0,5.

(f(-0.5))' = (-0.5)² - 2 * (-0.5) = 0.25 + 1 = 1.25 ≥, что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь эту же функцию на интервале (0, 2). Производная в точке (1) будет равняться:

(f(1))' = (1)² - 2 * (1) = 1 - 2 = -1 ≤, что и требовалось доказать.