1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях .
2. Формула Бернулли (с доказательством).
3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце .
ГУ: .
4. Случайная величина задана плотностью вероятности определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:
, , ,
граничные условия: ;
начальные условия: , .
Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, , .
Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а – соответствующей ему собственной функцией.
Пусть теперь (при задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид
.
Тогда . Из краевого условия получаем: , , т.е. и .
Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , , ;
собственные функции , , .
Теперь при каждом решаем уравнение для :
, .
При получим уравнение , откуда
.
При общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов , , , воспользуемся начальными условиями , .
Разложим функции и на отрезке в ряды Фурье по системе :
,
,
где
,
,
,
,
так как .
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, .
Находим :
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, , , .
Тогда решением задачи является ряд
.
2. Схемой Бернулли (или последовательностью независимых испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям:
1) в каждом испытании возможны лишь два исхода – появление некоторого события (которое мы будем называть "успехом") или его не появление, т.е. осуществление события (в этом случае мы будем говорить, что испытание закончилось "неудачей");
2) испытания являются независимыми, т.е. исход -го испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний;
3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна .
Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим через : .
При рассмотрении схемы Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события, состоящего в том, что в испытаниях успех появится ровно раз, . Обозначим эту вероятность через .
Теорема. Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно успехов, определяется формулой Бернулли
, .
Доказательство. Обозначим событие "появление успеха" через У, а событие "появление неудачи" через Н. Тогда элементарными исходами последовательности из независимых испытаний будут всевозможные цепочки длины , состоящие из событий У и Н. Всего существует различных цепочек такого вида. Посчитаем вероятности элементарных исходов. В силу независимости испытаний события У, Н, Н,..., У, У являются независимыми и согласно теореме умножения вероятность того, что в испытаниях успех появился раз, равна , . Поскольку всего существует способов расположить «успехов» среди испытаний, то .
3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ставится следующим образом:
при ,
,
где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ). Граничные условия преобразуем в полярные координаты:
, .
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, .
Таким образом, для получаем задачу на собственные значения
,
.
Если , то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, , , .
Если , то
.
Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.
При ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, .
Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим
, ,
откуда
,
т.е.
, .
При получим .
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения . Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Для нахождения , , , воспользуемся граничными условиями.
Из условия имеем:
,
откуда
, , ,
, ,
,
Из условия имеем:
,
откуда
, , ,
, ,
,
Из системы
, ,
находим , .
Из системы
, ,
находим , .
Из системы
, ,
находим , .
Из систем
, , ,
находим , , .
Из систем
, , ,
находим , , .
Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты
, , , , , .
Окончательно решение заданной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид
.
4. Математическое ожидание и дисперсию найдем соответственно по формулам:
, .
Для заданной плотности имеем:
,
.
Среднеквадратическое отклонение равно:
.