1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях .
2. Плотность распределения вероятностей случайной величины. Её связь с функцией распределения. Вывести формулу для нахождения вероятности попадания случайной величины в промежуток , если известна её плотность вероятности.
3. Найти решение смешанной задачи
, ,
ГУ: ; НУ: .
4. В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных, а во второй 10, из которых 9 стандартных. Из второй коробки взята наудачу лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.
1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:
, , ,
граничные условия: ;
начальные условия: , .
Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, , .
Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: , т.е. .
Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , ;
собственные функции , .
Теперь при каждом решаем уравнение для :
, .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов , , , воспользуемся начальными условиями , .
Разложим функции и на отрезке в ряды Фурье по системе :
,
,
где
,
,
так как .
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, .
Находим :
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, , .
Тогда решением задачи является ряд
.
2. Пусть – функция распределения случайной величины . Функцию называют плотностью распределения вероятностей случайной величины (или плотностью вероятности).
Из равенства следует, что . Действительно, так как , то . Тогда, т.к. ,
.
Кроме того, поскольку , то .
Условие называется условием нормировки.
С помощью плотности распределения вероятностей можно рассчитывать вероятность попадания случайной величины в промежуток . Поскольку
,
то
.
3. Поскольку граничные условия задачи , – неоднородные, то сначала сделаем замену, сводящую к однородным краевым условиям. Положим
,
где – новая неизвестная функция, а числа и подберем так, чтобы удовлетворяла граничным условиям: , . Тогда
, ,
откуда , .
Итак, делаем замену
.
Тогда
, , ,
: ,
: ,
:
.
Итак, для функции получим смешанную задачу
, , ,
, ,
.
Уравнение задачи является неоднородным. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Его нетривиальные решения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, , .
Тогда функция является решением уравнения
.
Из граничных условий , получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: , т.е. .
Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , ;
собственные функции , .
Тогда решение смешанной задачи для неоднородного уравнения будем искать в виде
,
где функции , , подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функция при любом выборе функций , , точно удовлетворяет однородным граничным условиям , . Находим производные
, ,
и подставляем их в неоднородное уравнение :
,
.
Тогда функции , , удовлетворяют уравнениям
,
, .
Начальные условия для этих уравнений получим, подставив в начальное условие , которое сначала представим на отрезке в виде ряда Фурье по системе функций :
,
где
.
Находим
,
,
,
при ,
при
.
Таким образом,
,
.
Если , , то , если , , то .
Итак,
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда получим начальные условия для :
, ,
Тогда для , , получим задачи Коши
, ,
, , ,
, , .
Решаем эти задачи:
, , ,
, .
Тогда
.
Возвращаясь к неизвестной функции по формуле , получим
.
4. Воспользуемся формулой полной вероятности. Событие
– лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.
Введем гипотезы:
– из второй коробки в первую переложена стандартная лампа;
– из второй коробки в первую переложена нестандартная лампа.
Поскольку всего во второй коробке 10 ламп, из которых 9 стандартных, то вероятности гипотез
, .
Найдем условные вероятности , .
Если из второй коробки в первую переложили стандартную лампу (гипотеза ), то в первой коробке стало 21 радиолампа, из которых 19 стандартных, значит,
.
Если из второй коробки в первую переложили нестандартную лампу (гипотеза ), то в первой коробке стало 21 радиолампа, из которых 18 стандартных, значит,
.
Тогда по формуле полной вероятности
.