2015-07-14
349
1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке 
при нулевых граничных условиях 
.
2. Нормальный закон распределения. Доказать, что, если 
, то 
.
3. Найти решение смешанной задачи для волнового уравнения на полупрямой
, 
,
ГУ: 
;
НУ: 
.
4. Из 100 лампочек 20 изготовлены на первом заводе, 30 на втором, а остальные на третьем. Первый завод выпускает 1% брака, второй – 0,5%; третий – 0,6%. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется бракованной?
1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:
, 
, 
,
граничные условия: ;
начальные условия: 
, 
.
Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
, 
.
Из граничных условий получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, 
.
При 
(при 
задача имеет только тривиальные решения) общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: 
, 
, т.е. 
и 
.
Из краевого условия получаем: 
. Поскольку и 
, то 
и равенство возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , ;
собственные функции , .
Теперь при каждом 
решаем уравнение для 
:
, 
.
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов 
, 
, , воспользуемся начальными условиями , .
Разложим функции 
и 
на отрезке 
в ряды Фурье по системе 
:
,
,
где
,
,
так как
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, 
.
Находим 
:
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, 
, .
Тогда решением задачи является ряд
.
2. Нормальным распределением с параметрами 
, 
называется распределение вероятностей с плотностью (
, 
)
, 
.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины 
находится по формуле
.
Для нормального закона
.
Сделаем в интеграле замену 
, откуда 
, 
, если 
, то 
, если 
, то 
. Тогда
,
так как
,
.
3. Для смешанной задачи для волнового уравнения на полупрямой
, 
, 
,
, 
, 
.
решение записывается по формуле Даламбера
,
где 
, 
продолженные нечётным образом на отрицательную часть оси 
функции 
и 
соответственно, то есть:
У нас 
, 
, 
. Тогда
, 
и решение задачи имеет вид
.
4. Воспользуемся формулой полной вероятности. Событие
– наудачу взятая лампочка оказалась бракованной.
Введем гипотезы:
– лампочка произведена на первом заводе;
– лампочка произведена на втором заводе;
– лампочка произведена на третьем заводе.
Поскольку всего изготовлено 100 лампочек, то вероятности гипотез
, 
, 
.
Условные вероятности 
, 
, по условию равны
, 
, 
.
Тогда по формуле полной вероятности
.
