1. Уравнение Лапласа. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга.
2. Правило трёх сигм (с доказательством).
3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
, ,
ГУ: ;
НУ: .
4. Найти вероятность того, что при восьми подбрасываниях двух монет два герба появятся ровно 4 раза.
1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида
,
где – оператор Лапласа.
Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса ставится следующим образом:
при ,
,
где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ), – заданная функция.
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, .
Таким образом, для получаем задачу на собственные значения
,
.
Если , то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, , , .
Если , то
.
Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.
|
|
При ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, .
Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим
, ,
откуда
,
т.е.
, .
При получим .
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения . Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области , т.е.
, , .
Итак, в области имеем
.
Для нахождения , , , , воспользуемся краевым условием . Разложим функцию в тригонометрический ряд Фурье в промежутке :
,
где , , , .
Тогда краевое условие дает равенство
,
откуда
, , , .
Окончательно решение внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вне круга имеет вид
.
2. Пусть случайная величина распределена нормально с параметрами и . Тогда вероятность попадания её в промежуток вычисляется по формуле
,
где , причем – нечетная функция: .
Найдем вероятность того, что нормальная случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую по модулю, чем три среднеквадратических отклонения, т.е. найдем вероятность .
Поскольку
,
то по приведенной выше формуле получим
.
Поскольку , то
.
Это т.н. «правило трёх сигм» – с вероятностью (т.е. практически достоверно) значения нормальной случайной величины лежат в интервале .
3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
|
|
, ,
: ,
, , .
Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий , получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: , т.е. .
Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , ;
собственные функции , .
Теперь при каждом решаем уравнение для :
, .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов , , , воспользуемся начальными условиями , .
Разложим функцию на отрезке в ряд Фурье по системе :
,
где
.
Находим
,
при
,
при
.
Итак,
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, , .
Находим :
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, .
Тогда решение задачи есть ряд
.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух монет двух гербов. Поскольку при подбрасывании двух монет возможно четыре исхода – ГГ, ГР, РГ и РР (Г – выпадение герба, Р – выпадение решки), то вероятность «успеха» равна . Проведено испытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 4 раза (т.е. при восьми подбрасываниях двух монет два герба появятся ровно 4 раза), равна
.