1. Уравнение Лапласа. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
2. Неравенство Чебышёва (с доказательством).
3. Найти потенциал в центре квадрата со стороной , если на трёх сторонах квадрата потенциал равен нулю, а на четвертой стороне задается формулой
.
4. Найти функцию распределения случайной величины , заданной плотностью вероятности .
1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида
,
где – оператор Лапласа.
Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круга радиуса ставится следующим образом:
при ,
,
где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ), – заданная функция.
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Кроме того, нужно поставить условие ограниченности решения в центре круга.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, .
|
|
Таким образом, для получаем задачу на собственные значения
,
.
Если , то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, , , .
Если , то
.
Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.
При ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, .
Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим
, ,
откуда
,
т.е.
, .
При получим .
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения . Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Поскольку задача рассматривается внутри круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными при , т.е.
, , .
Итак, в области имеем
.
Для нахождения , , , , воспользуемся краевым условием . Разложим функцию в тригонометрический ряд Фурье в промежутке :
,
где , , , .
Тогда краевое условие дает равенство
,
откуда
, , , .
Окончательно решение внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид
.
2. Для любой случайной величины и любого положительного числа справедливо неравенство Чебышева
.
Доказательство проведем для случая, когда – непрерывная случайная величина. Пусть – плотность случайной величины , а , тогда
,
так как события и несовместны.
Итак,
,
то есть
.
Неравенство Чебышева доказано.
Для дискретных случайных величин неравенство Чебышева доказывается аналогично (вместо интегралов будут суммы рядов).
Следствие. Поскольку , то
.
3. Если – искомый потенциал, то он является решением задачи
при , ,
, .
Для решения краевой задачи воспользуемся методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения Лапласа будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
|
|
, ,
: ,
, , .
Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений
, .
Из краевых условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку , то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: , т.е. . Из краевого условия получаем: . Поскольку , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
Собственные значения , ;
Собственные функции , .
Теперь при каждом решаем уравнение для :
: , .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Краевые условия , дают:
:
; , ;
:
, .
Итак, для определения , , , получили системы
Решая их, получим
, ,
, , .
Тогда
,
, .
Окончательно, потенциал равен
.
Значение потенциала в центре квадрата со стороной , т.е. в точке , , равно
.
4. Функцию распределения найдем по формуле
.
Для заданной плотности получим:
при
;
при
,
при
.
Итак, функция распределения равна