1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце.
2. Закон больших чисел (теорема о связи и , где , , …, – попарно независимые величины, дисперсии которых ограничены одной и той же const) (с доказательством).
3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
, ,
ГУ: ;
НУ: .
4. Найти вероятность того, что при семи подбрасываниях двух игральных кубиков пять очков в сумме появятся ровно 3 раза.
1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида
,
где – оператор Лапласа.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ставится следующим образом:
при ,
, ,
где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ), , – заданные функция.
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, .
Таким образом, для получаем задачу на собственные значения
,
|
|
.
Если , то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, , , .
Если , то
.
Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.
При ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, .
Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим
, ,
откуда
,
т.е.
, .
При получим .
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения . Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Для нахождения , , , , , , , воспользуемся краевыми условием , . Разложим функции , в тригонометрический ряд Фурье в промежутке :
,
,
где
, , , ,
, , , .
Тогда краевое условие дает равенство
,
откуда
, , , .
Краевое условие дает равенство
,
откуда
, , , .
Тогда
из системы , находим
, ;
из систем , , , находим
, , ;
из систем , , , находим
, , .
Окончательно решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид
.
2. Пусть – последовательность случайных величин, для которых определены математические ожидания , . Кроме того, пусть для любого
.
Математические теоремы, формулирующие условия такой сходимости, носят название закона больших чисел (ЗБЧ).
Рассмотрим закон больших чисел в форме Чебышева.
Введем обозначения
, .
Теорема Чебышева. Пусть – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные в совокупности: при любом . Тогда для любого
.
Доказательство. Поскольку случайные величины независимы, то
,
Кроме того,
,
поскольку дисперсии ограничены в совокупности.
Применим к вероятности неравенство Чебышева и неравенство для :
|
|
.
Последнее при любом стремится к нулю при . Теорема доказана.
3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, , .
Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий , получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а – соответствующей ему собственной функцией.
Пусть теперь (при задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид
.
Тогда . Из краевого условия получаем: , , т.е. и .
Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , , ;
собственные функции , , .
Теперь при каждом решаем уравнение для :
, .
При получим уравнение , откуда
.
При общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов , , , воспользуемся начальными условиями , .
Разложим функцию на отрезке в ряд Фурье по системе :
,
где
,
.
Находим
,
при
,
при
.
Итак,
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, , , .
Находим :
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, .
Тогда решение задачи есть ряд
.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух игральных кубиков в сумме пяти очков. Поскольку при подбрасывании двух игральных кубиков всего возможно исходов, а сумме 5 может появиться четырьмя способами: , , , , то вероятность «успеха» равна . Проведено испытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 3 раза (т.е. при семи подбрасываниях двух игральных кубиков пять очков в сумме появятся ровно 3 раза), равна
.