2015-07-14
673
Наметим на балке две точки 1 и 2 (рис. 15.4, а).
Приложим статически в точке 1 силу 
. Она вызовет в этой точке прогиб 
, а в точке 2 – 
.
Для обозначения перемещений мы используем два индекса. Первый индекс означает место перемещения, а второй – причину, вызывающую это перемещение. То есть, почти как на конверте письма, где мы указываем: куда и от кого.
Так, например, означает прогиб балки в точке 2 от нагрузки .
После того, как закончен рост силы . приложим в точке 2 к деформированному состоянию балки статическую силу 
(15.4, б). Балка получит дополнительные прогибы: 
в точке 1 и 
в точке 2.
Составим выражение для работы, которую совершают эти силы на соответствующих им перемещениях: 
.
Здесь первое и третье слагаемые представляют собой упругие работы сил и . Согласно теореме Клапейрона, они имеют коэффициент 
. У второго слагаемого этого коэффициента нет, поскольку сила своего значения не изменяет и совершает возможную работу на перемещении , вызванном другой силой .
Изменим теперь порядок нагружения балки. Сначала прикладываем к балке силу , а затем (рис. 15.4, в, г).
Тогда работа 
.
Очевидно, что 
. Из этого равенства следует теорема Бетти: 
.
Заметим, что теорема Бетти о взаимности работ справедлива как для случая внешних, так и для случая внутренних сил.
