Итерационные методы решения СЛАУ позволяют найти решение лишь с заданной точностью. Пусть требуется решить систему Ax=f. Представим матрицу A в виде A=L+D+U, где L - нижнетреугольная матрица, D - диагональная матрица, U - верхнетреугольная матрица.
Запишем систему (6.1) в развернутом виде:
где (i=1,2,…,n), и приведем к виду
Обозначим
В векторно-матричном виде система запишется в виде:
x=B x+C,
где B= { bij } i,j=1,…,n, C= { ci } i=1,…,n, x=(x1,x2,…,xn)Т.
Построим итерационный процесс по формуле
x(k+1)=B x(k)+C,
где x0 - задано, k - номер итерации, x(k)=(x1k,x2k,…,xnk)Т.
В качестве условия остановки итерационного процесса, можно использовать условие
,
где e - заданная точность вычисления.
Достаточным условием сходимости метода простой итерации является:
или условие диагонального преобладания матрицы A, т. е.
Необходимым и достаточным условием сходимости итерационных методов является условие max | li (B)| < 1. Оценка погрешности итерационного процесса запишется в виде:
,
где x*- точное решение. Определяя необходимое число итераций для достижений заданной точности из формулы, получим
|
|
Итерационная формула метода Якоби имеет вид:
,
где
Для метода Зейделя каждый вычисленный элемент вектора x на (k+1) -й итерации используется при вычислении следующего элемента:
В общем виде получим:
.
Для метода релаксации введем числовой параметр w так, что
при w > 1 будет метод верхней релаксации,
при w = 1 - метод полной релаксации (метод Зейделя),
при w < 1 - метод нижней релаксации.
Если A=A* > 0, a w такое, что 0< w <2, то метод релаксации сходится. Параметр w выбирается из условия минимума спектрального радиуса оператора перехода от итерации к итерации.