Расчет комбинированной модели реактора

При разработке модели реактора с комбинированной гидродинамической моделью необходимо рассмотреть протекание реакции в каждом структурном элементе гидродинамической модели аналогично разделу 2.1 и рассчитать результат смешения потоков, выходящих из структурных гидродинамических элементов в соответствии с конфигурацией комбинированной модели и в итоге рассчитать концентрации компонентов в реакционной смеси на выходе из аппарата. Решение этой задачи проиллюстрируем несложным примером.

В реакторе, описываемом комбинированной гидродинамической моделью, протекает изотермическая реакция первого порядка А В, где K – константа скорости реакции. Начальная концентрация компонента А в сырье С_Ао = 200 г/л. Для оценки структуры потоков в реакторе для реактора получена функция отклика на импульсное возмущение. Необходимо рассчитать состав реакционной смеси на выходе из реактора.

Для решения задачи необходимо:

· установить структуру потоков в реакторе;

· предложить модель комбинированной гидродинамики для совокупности типовых элементов, эквивалентной реальной гидродинамике реактора;

· разработать модель каждого типового элемента схемы;

· определить численно параметры каждого типового элемента гидродинамической модели;

· разработать обобщенную модель процесса, протекающего в реакторе, с учетом как гидродинамики, так и кинетики химического процесса.

Для формирования гидродинамической модели выполняем декомпозицию функции отклика, позволяющую определить присутствие в структуре потоков реактора как ячейки идеального смешения, так и ячейки идеального вытеснения (рис. 2.9).

По форме функции отклика (рис. 2.9.а) можно предположить, что введенное импульсное возмущение в течение времени t₁ перемещалось по аппарату в режиме идеального вытеснения, а затем прошло ячейку идеального смешения (рис. 2.9, б); возможна и иная последовательность этих типовых элементов структуры потоков: сначала поток проходит через ячейку идеального вытеснения, а затем – через ячейку идеального смешения (рис. 2.9, в). Оба варианта гидродинамики вполне правомочны и, как будет показано ниже, дают одинаковые результаты моделирования изотермической химической реакции.

При составлении математической модели реактора ограничимся построением простейшей полной модели, состоящей из частных химической и гидродинамических моделей.

_{1 1}

₁

МИВ МИС

б

₁

Ввод возмущения МИС МИВ

а

в

Рис. 2.9. Функция отклика (а) и варианты структур потоков (б, в)

для реактора с комбинированной моделью

Модель кинетики реакции имеет вид

. (2.17)

Модель гидродинамики идеального вытеснения (МИВ)описывается как:

(2.18)

где W – параметр МИВ – скорость потока.

Модель гидродинамики идеального смешения проточного типа (МИС) имеет вид:

, (2.19)

где Т_МИС – параметр МИС – время пребывания потока в зоне идеального смешения, С_iвх и С_iвых – концентрация на входе и выходе МИС.

Полная модель ячейки МИС для стационарного режима работы имеет вид:

. (2.20)

.

Так как, величина скорости потока реакционной смеси априорно неизвестна, то в данном варианте решения задачи расчета реактора исключим из анализа величину скорости; нетрудно убедиться, что

, (2.21)

Преобразовав (2.20) с учетом (2.21) получим полную модель МИВ в виде системы уравнений, описывающих протекание химической реакции в МИВ для стационарного режима работы:

. (2.22)

Полная модель ячейки МИС с учетом химизма процесса для стационарного режима работы имеет вид:

. (2.23)

.

Таким образом, как видно из систем уравнений (2.22) и (2.23), реакционная ячейка МИВ описывается дифференциальными уравнениями, а ячейка МИС – алгебраическими.

Решение позволяет упростить рассматриваемый тип реакции, для которой можно записать, что С_В = С_АО – С_А, тогда для МИВ

, (2.24)

для МИС

, (2.25)

и для обоих типов моделей

С_В = С_АО - С_А. (2.26)

Дифференциальное уравнение ячейки МИВ можно решать методом Эйлера, но простая форма дифференциального уравнения позволяет найти решение и в аналитической форме.

В общем случае решение задачи для определения продолжительности реакции t_Р в ячейке с гидродинамикой идеального вытеснения имеет вид:

· рассматриваем дифференциальное уравнение

, (2.27)

· разделяем переменные в (2.27) и расставляем пределы интегрирования

, (2.28)

· решаем в общем виде табличные интегралы в виде

ln(С_Авых /С_Авх)= - Кt_Р,. (2.29)

или

, (2.30)

откуда

С_Авых = С_Авх× . (2.31)

Таким образом, зная концентрацию компонента А на входе в ячейку идеального вытеснения С_Авх, легко рассчитать его концентрацию на выходе из ячейки С_Авых, зная время пребывания реакционной смеси в зоне идеального вытеснения t_Р. Согласно функции отклика (рис.2.9,а) t_Р=t, тогда решение ячейки идеального вытеснения имеет вид

С_Авых = С_Авх×

, (2.32)

С_Ввых = С_Во –С_Ввых.

Решение ячейки МИС в общем виде имеет форму

, (2.33)

однако для численного расчета необходимо знать величину Т_МИС; среднее время пребывания продуктов реакции Т_МИС в ячейке МИС можно рассчитать как первый начальный момент функции отклика МИС на возмущение как

(2.34)

или

(2.35)

методом прямоугольников или трапеций.

Имея математическое описание частных элементов (МИС и МИВ), можно перейти к расчету комбинированной схемы.

Для варианта МИВ + МИС (рис.2.9.,б) получим:

после МИВ концентрации компонентов А и В составят

(2.36)

(2.37)

после МИС концентрации компонентов А и В составят

, (2.38)

. (2.39)

Для варианта МИС + МИВ (рис. 2.9, в) получим: после МИС концентрации компонентов А и В составят

; (2.40)

. (2.41)

после МИВ концентрации компонентов А И В составят

, (2.42)

. (2.43)

Таким образом, мы в ходе аналитического решения задачи показали, что состав реакционной смеси на выходе из реактора в нашем случае не зависит от варианта комбинированной схемы и варианты МИС + МИВ и МИВ + МИС являются равновероятными. Приняв К = 0,1 с ^-1, t₁ = 10 с, Т_МИС = 20 с, С_Ао = 200 г/л, получаем следующее численное решение задачи для варианта МИС + МИВ:

г/л,

г/л,

г/л,

г/л.

Для варианта МИВ + МИС получим соответственно

г/л,

г/л,

г/л,

г/л.

Таким, образом, расчет реактора по обоим вариантам компоновки комбинированной гидродинамической модели реактора дает одинаковые результаты реализации химического процесса.