Пусть аргументы функции z = f (x, y) являются, в свою очередь, функциями переменных u и v: x = x (u, v), y = y (u, v). Тогда функция f тоже есть функция от u и v. Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v, не делая непосредственной подстановки
z = f (x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.
Зададим аргументу u приращение D u, не изменяя аргумент v. Тогда
Если же задать приращение только аргументу v, получим:
Разделим обе части первого равенства на D u, а второго – на D v и перейдем к пределу соответственно при
Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у
Следовательно,
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Пусть x = x(t), y = y(t). Тогда функция f (x,y) является фактически функцией одной переменной t, и можно, используя полученные формулы и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x(t) и y(t)), получить выражение для
|
|
Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х, то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х. Используя предыдущую формулу при t = x и учитывая, что
получим, что
Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х: слева стоит так называемая полная производная, в отличие от частной, стоящей справа.