Примеры

1. Пусть z = xy, где x = u ² + v, y = uv ². Найдем и . Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:

Тогда

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v).

2. Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x.

Инвариантность формы дифференциала

Воспользовавшись формулами для частных производных сложной функции, выразим полный дифференциал функции z = f (x, y), где x = x(u,v), y = y(u,v), через дифференциалы переменных u и v:

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у, то есть является инвариантной (неизменной).