Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(x,y,z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cos a, cos b, cos g. На векторе S на расстоянии D s от его начала найдем точку М 1(х+ D х, у+ D у, z+ D z), где
Представим полное приращение функции f в виде:
После деления на Δ s получаем:
Поскольку
предыдущее равенство можно переписать в виде:
Предел отношения называется производной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается |
При этом
Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при
получаем:
Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х0 и у = у0. Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х0, у0) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси O z и прямой l.
Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентомфункции u = f (x, y, z). |
Обозначение:
Свойства градиента
1. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S.
Доказательство.
Единичный вектор направления S имеет вид eS ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и es, то есть указанную проекцию.
2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента.
Доказательство.
Обозначим угол между векторами S и grad u через j. Тогда из свойства 1 следует, что
следовательно, ее наибольшее значение достигается при j =0 и равно |grad u |.
3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u, равна нулю.
Доказательство.
В этом случае
4. Если z = f (x,y) – функция двух переменных, то
направлен перпендикулярно к линии уровня f (x,y) = c, проходящей через данную точку.